Stoch Proc - Lab/Tutorial 9 Solutions

Scott Alexander

Q1

(a)

Let    (Subscript[A, t])    represent number trades stock A up until week t.
Then    (Subscript[A, t])~Pois(1*6*5t)~Pois(30t).

Then
P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 1])=20,(Subscript[A, 2])-(Subscript[A, 1])=30) = P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 1])=20,(Subscript[A, 2])=50)
  = P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 2])=50)    (Markov property)
  = P((Subscript[A, 4])-(Subscript[A, 2])=60|(Subscript[A, 2])=50)
  = P((Subscript[A, 4])-(Subscript[A, 2])=60)    (independence of increments)
  = (((e^(-30*2))(((30*2))^60))/(60!)) = 0.05143174499034585`.

Calculations

Clear[λ,t];
Mean[PoissonDistribution[λ t]]

(((E^(-30*2))(((30*2))^60))/(60!))//N

(b)

Let    (Subscript[B, t])    represent number trades stock B up until week t.
Then    (Subscript[B, t])~Pois(2*6*5t)~Pois(60t).

P((Subscript[A, 1])=30,(Subscript[B, 1])=50|(Subscript[B, 5])=250) = ((P((Subscript[A, 1])=30,(Subscript[B, 1])=50,(Subscript[B, 5])=250))/(P((Subscript[B, 5])=250)))
  = P((Subscript[A, 1])=30)((P((Subscript[B, 1])=50,(Subscript[B, 5])=250))/(P((Subscript[B, 5])=250)))    (independence)
  = P((Subscript[A, 1])-(Subscript[A, 0])=30)((P((Subscript[B, 1])-(Subscript[B, 0])=50,(Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 1])=200))/(P((Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 0])=250)))
  = P((Subscript[A, 1])-(Subscript[A, 0])=30)((P((Subscript[B, 1])-(Subscript[B, 0])=50)P((Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 1])=200))/(P((Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 0])=250)))    (independence)
  = (((((e^(-30*1))(((30*1))^30))/(30!))(((e^(-60*1))(((60*1))^50))/(50!))(((e^(-60*4))(((60*4))^200))/(200!)))/(((e^(-60*5))(((60*5))^250))/(250!)))
  = 0.004573652602083308`

Calculations

(((((E^(-30*1))(((30*1))^30))/(30!))(((E^(-60*1))(((60*1))^50))/(50!))(((E^(-60*4))(((60*4))^200))/(200!)))/(((E^(-60*5))(((60*5))^250))/(250!)))//N

(c)

Let the volume traded per each transaction of stock A be given by RV X with
P(X=x) = ({{{, ({{0.1,, x=1}, {0.7,, x=2}, {0.2,, x=3}})}})
where
𝔼[(X^2)] = (1^2)*0.1+(2^2)*0.7+(3^2)*0.2 = 4.7`.

Then total volume traded of stock A is given by the compound Poisson process
(Subscript[V, t]^((A))) = (∑_(k=1)^(Subscript[A, t]))(Subscript[X, k])
with    (Subscript[X, k])~X    and independent.


Let the volume traded per each transaction of stock B be given by RV Y with
P(Y=y) = ({{{, ({{0.2,, y=1}, {0.3,, y=3}, {0.5,, y=5}})}})
where
𝔼[(Y^2)] = (1^2)*0.2+(3^2)*0.3+(5^2)*0.5 = 15.4`.

Then total volume traded of stock B is given by the compound Poisson process
(Subscript[V, t]^((B))) = (∑_(k=1)^(Subscript[B, t]))(Subscript[Y, k])
with    (Subscript[Y, k])~Y   and independent.


Then
var((Subscript[V, 2]^((A)))+(Subscript[V, 2]^((B)))) = var((Subscript[V, 2]^((A))))+var((Subscript[V, 2]^((B))))+2cov((Subscript[V, 2]^((A))),(Subscript[V, 2]^((B))))
  = var((Subscript[V, 2]^((A))))+var((Subscript[V, 2]^((B))))    ((Subscript[V, t]^((A))),(Subscript[V, t]^((B))) independent as (Subscript[A, t]),(Subscript[B, t]) independent)
  = 30*2*𝔼[(X^2)]+60*2*𝔼[(Y^2)]
  = 30*2*4.7+60*2*15.4
  = 2130.

Calculations

(1^2)*0.1+(2^2)*0.7+(3^2)*0.2

(1^2)*0.2+(3^2)*0.3+(5^2)*0.5

30*2*4.7+60*2*15.4

Q2

(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^(Subscript[X, t]))

(Subscript[X, t]) = μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])

μ = r-((σ^2)/2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2)))

(Subscript[Y, k])~N(m,(θ^2)) and independent.

(a)

First note that (Subscript[Y, k]) has characteristic function
(Subscript[φ, (Subscript[Y, k])])(u) = 𝔼[(e^(i u (Subscript[Y, k])))] = exp(i m u-(1/2)(θ^2)(u^2)).

𝔼[(Subscript[S, t])] = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^(Subscript[X, t]))] = 𝔼[(Subscript[S, 0])exp(μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]𝔼[exp((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]    (independence, non-random terms)
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]𝔼[exp(i(-i)(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))(e^((1/2)(σ^2)t))exp(λ t((Subscript[φ, (Subscript[Y, k])])(-i)-1))    (Theorem 6 page 39 Chapter 6 Notes)
      (MGF of (Subscript[Y, k]) exists so this is valid)
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))(e^((1/2)(σ^2)t))exp(λ t((e^(m+(θ^2)/2))-1))
  = (Subscript[S, 0])exp((μ+(1/2)(σ^2)+λ((e^(m+(θ^2)/2))-1))t)
  = (Subscript[S, 0])exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2)))+(1/2)(σ^2)+λ((e^(m+(θ^2)/2))-1))t)
  = (Subscript[S, 0])(e^(r t)).

(b)

The second moment
𝔼[(Subscript[S, t]^2)] = 𝔼[(Subscript[S, 0]^2)(e^(2(Subscript[X, t])))] = 𝔼[(Subscript[S, 0]^2)exp(2μ t+2σ (Subscript[B, t])+2(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2 μ t))𝔼[(e^(2σ (Subscript[B, t])))]𝔼[exp(2(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]    (independence, non-random terms)
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2 μ t))𝔼[(e^(2σ (Subscript[B, t])))]𝔼[exp(i(-2i)(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))]
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2 μ t))(e^(2(σ^2)t))exp(λ t((Subscript[φ, (Subscript[Y, k])])(-2i)-1))    (Theorem 6 page 39 Chapter 6 Notes)
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2 μ t))(e^(2(σ^2)t))exp(λ t((e^(2m+2(θ^2)))-1))

  = (Subscript[S, 0]^2)exp((2μ+2(σ^2)+λ((e^(2m+2(θ^2)))-1))t)
  = (Subscript[S, 0]^2)exp((2(r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))+2(σ^2)+λ((e^(2m+2(θ^2)))-1))t)
  = (Subscript[S, 0]^2)exp((2r+(σ^2)+λ-2λ (e^(m+(θ^2)/2))+λ (e^(2m+2(θ^2))))t) .

So
var((Subscript[S, t])) = 𝔼[(Subscript[S, t]^2)]-((𝔼[(Subscript[S, t])])^2)
  = (Subscript[S, 0]^2)exp((2r+(σ^2)+λ-2λ (e^(m+(θ^2)/2))+λ (e^(2m+2(θ^2))))t-(Subscript[S, 0]^2)exp(2 r t)
  = (Subscript[S, 0]^2)exp(2 r t)(exp(((σ^2)+λ-2λ (e^(m+(θ^2)/2))+λ (e^(2m+2(θ^2))))t)-1).

Calculations

Clear[m,θ];
CharacteristicFunction[NormalDistribution[m,θ],-2I]

(c)

cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, s])) = cov(μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),μ s+σ (Subscript[B, s])+(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j])) = cov(σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),σ (Subscript[B, s])+(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))
  = cov(σ (Subscript[B, t]),σ (Subscript[B, s]))+cov(σ (Subscript[B, t]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),σ (Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))
  = (σ^2)cov((Subscript[B, t]),(Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))    (B and (Subscript[Y, k]) are independent)
  = (σ^2)s+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k])+(∑_(k=(Subscript[N, s])+1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))
  = (σ^2)s+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))+cov((∑_(k=(Subscript[N, s])+1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))
  = (σ^2)s+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]),(∑_(j=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, j]))    ((Subscript[Y, k]),(Subscript[Y, j]) are independent for k≠j)
  = (σ^2)s+var((∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))  = (σ^2)s+λ s 𝔼[(Subscript[Y, k]^2)] = (σ^2)s+λ s(var((Subscript[Y, k]))+((𝔼[(Subscript[Y, k])])^2))
  = (σ^2)s+λ s((θ^2)+(m^2)).

Calculations

Clear[λ,s];  (∑_(n=0)^∞)((((λ s))^n)/(n!))n

Clear[λ,s];  (∑_(n=0)^∞)((((λ s))^n)/(n!))n(n-1)

Clear[λ,s,m,θ];  ((θ^2)+(m^2))(E^(-λ s))λ s (E^(λ s))+(m^2)(E^(-λ s))(((λ s))^2)(E^(λ s))-(((m (E^(-λ s))λ s (E^(λ s))))^2)

(d)

We have
(Subscript[S, t+Δt]) = (Subscript[S, 0])exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))(t+Δt)+σ (Subscript[B, t+Δt])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t+Δt]))(Subscript[Y, k]))
  = (Subscript[S, 0])exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]))exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))Δt+σ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t]))+(∑_(k=(Subscript[N, t])+1)^(Subscript[N, t+Δt]))(Subscript[Y, k]))
  = (Subscript[S, t])exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))Δt+σ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t]))+(∑_(k=(Subscript[N, t])+1)^(Subscript[N, t+Δt]))(Subscript[Y, k]))
  (Overscript[=, d]) (Subscript[S, t])exp((r-(1/2)(σ^2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2))))Δt+σ (Subscript[B, Δt])+(∑_(k=(Subscript[N, t])+1)^(Subscript[N, t+Δt]))(Subscript[Y, k])).

Note we have equality in distribution as
(Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])
is Gaussian (weighted sum of joint Gaussian RVs)
with
𝔼[(Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])] = 0
and
var((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])) = Δt.

That is,    (Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])~N(0,Δt)~(Subscript[B, Δt]).

(e)

Using Mathematica with RandomInteger/RandomReal

Clear[S0,r,σ,λ,m,θ,TT,steps,dt,dataTime,μ,dw,dataStock];
S0=10;r=0.04;σ=0.5;λ=15;m=-0.2;θ=0.5;
TT=1; steps=1000;

dt=TT/steps;
dataTime=Table[i dt,{i,0,steps}];

μ=r-(σ^2)/2+λ(1-(E^(m+(θ^2)/2)));
dw=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],steps];
dataStock=Table[S0,{steps+1}];

For[i=1,i≤steps,i++,
nJumps=RandomInteger[PoissonDistribution[λ*dt]];
jump=Total[RandomReal[NormalDistribution[m,θ],nJumps]];
dataStock[[i+1]]=dataStock[[i]]Exp[μ dt+σ dw[[i]]+jump]
];
ListPlot[Transpose[{dataTime,dataStock}],Joined->True,PlotRange->All,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"}]

Using Mathematica with RandomFunction

TT=1; steps=1000;
dt=TT/steps;
S0=10;r=0.01;σ=0.3;λ=10;m=-0.1;θ=0.25;
μ=r-(σ^2)/2+λ(1-(E^(m+(θ^2)/2)));
dataBM=RandomFunction[WienerProcess[μ,σ],{0,TT,dt}];
dataCP=RandomFunction[CompoundPoissonProcess[λ,NormalDistribution[m,θ]],{0,TT,dt}];
dataTime=dataBM["Times"];
dataStock=S0*Exp[dataBM["Values"]+dataCP["Values"]];
ListPlot[Transpose[{dataTime,dataStock}],Joined->True,PlotRange->All,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"}]

Using Mathematica with TransformedProcess

TT=1; steps=1000;
dt=TT/steps;
S0=10;r=0.01;σ=0.3;λ=10;m=-0.1;θ=0.25;
μ=r-(σ^2)/2+λ(1-(E^(m+(θ^2)/2)));
mertonJD=TransformedProcess[μ t+σ b[t]+j[t],{b\[Distributed]WienerProcess[0,1],j\[Distributed]CompoundPoissonProcess[λ,NormalDistribution[m,θ]]},t];
data=RandomFunction[mertonJD,{0,TT,dt}];
dataTime=data["Times"];
dataStock=S0*Exp[data["Values"]];
ListPlot[Transpose[{dataTime,dataStock}],Joined->True,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"}]

Using R

See R code file.