Stoch Proc - Lab/Tutorial 9 Solutions

Scott Alexander

Q1

(a)

Let    (Subscript[A, t])    be number trades of A up until end week t.
Then    (Subscript[A, t])~Pois(1*6*5t=30t).

We need
P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 1])=20,(Subscript[A, 2])-(Subscript[A, 1])=30) = P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 1])=20,(Subscript[A, 2])=50)
  = P((Subscript[A, 4])=110|(Subscript[A, 2])=50)    (Markov property)
  = P((Subscript[A, 4])-(Subscript[A, 2])=110-(Subscript[A, 2])|(Subscript[A, 2])-(Subscript[A, 0])=50)
  = P((Subscript[A, 4])-(Subscript[A, 2])=60|(Subscript[A, 2])-(Subscript[A, 0])=50)
  = P((Subscript[A, 4])-(Subscript[A, 2])=60)    (independence)
  = 0.05143174499034585`

(((E^(-30*2))(((30*2))^60))/(60!))//N

(b)

Let    (Subscript[B, t])    be number trades of B up until end week t.
Then    (Subscript[B, t])~Pois(2*6*5t=60t).

Hint: (Subscript[A, t]),(Subscript[B, t]) are independent.

We need
P((Subscript[A, 1])=30,(Subscript[B, 1])=50|(Subscript[B, 5])=250) = ((P((Subscript[A, 1])=30,(Subscript[B, 1])=50,(Subscript[B, 5])=250))/(P((Subscript[B, 5])=250)))
  = ((P((Subscript[A, 1])=30)P((Subscript[B, 1])=50,(Subscript[B, 5])=250))/(P((Subscript[B, 5])=250)))    (independence)
= ((P((Subscript[A, 1])=30)P((Subscript[B, 1])=50,(Subscript[B, 5])=250))/(P((Subscript[B, 5])=250)))
= ((P((Subscript[A, 1])-(Subscript[A, 0])=30)P((Subscript[B, 1])-(Subscript[B, 0])=50,(Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 1])=200))/(P((Subscript[B, 5])-(Subscript[B, 0])=250)))
  = ...

(c)

Let volume A traded per transaction be
P(X=x) = ({{{, ({{0.1,, x=1}, {0.7,, x=2}, {0.2, x=3}})}}).

Let    (Subscript[V, t])    be volume A traded up until end week t.

So the compound Poisson process
(Subscript[V, t]) = (∑_(k=1)^(Subscript[A, t]))(Subscript[X, k])
where    (Subscript[X, k])~X    and independent.


Do similar for B with compound Poisson process
(Subscript[W, t]) = ...


Then find
var((Subscript[V, 2])+(Subscript[W, 2])) = ...
and use independence of (Subscript[A, t]),(Subscript[B, t]).

Q2

(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^(Subscript[X, t]))

(Subscript[X, t]) = μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])

μ = r-((σ^2)/2)+λ(1-(e^(m+(θ^2)/2)))

(Subscript[Y, k])~N(m,(θ^2)) and independent.

(a)

𝔼[(Subscript[S, t])] = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^(μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))] = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^(μ t))(e^(σ (Subscript[B, t])))(e^((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]𝔼[(e^((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]𝔼[(e^((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))(e^((1/2)(σ^2)t))𝔼[(e^(i(-i)(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^(μ t))(e^((1/2)(σ^2)t))(e^(λ t((Subscript[φ, Y])(-i)-1)))
where
(Subscript[φ, Y])(-i) = (e^(m+((θ^2)/2)))

MomentGeneratingFunction[NormalDistribution[0,(Sqrt[t])],σ]

CharacteristicFunction[NormalDistribution[m,θ],-I]

MomentGeneratingFunction[NormalDistribution[m,θ],1]

(b)

var((Subscript[S, t])) = 𝔼[(Subscript[S, t]^2)]-((𝔼[(Subscript[S, t])])^2)

Here you will need
𝔼[(e^(2(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))] = 𝔼[(e^(i(-2i)(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])))]

Clear[m,θ];
CharacteristicFunction[NormalDistribution[m,θ],-2I]

(c)

cov(μ t+σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),μ s+σ (Subscript[B, s])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k])) = cov(σ (Subscript[B, t])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),σ (Subscript[B, s])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))
 = cov(σ (Subscript[B, t]),σ (Subscript[B, s]))+cov(σ (Subscript[B, t]),+(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),σ (Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))
 = (σ^2)cov((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s])+(Subscript[B, s]),(Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])-(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]),(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))
 = (σ^2)cov((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s])+(Subscript[B, s]),(Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=(Subscript[N, s])+1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k])+(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]),(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))
 = (σ^2)cov((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]),(Subscript[B, s]))+(σ^2)cov((Subscript[B, s]),(Subscript[B, s]))+cov((∑_(k=(Subscript[N, s])+1)^(Subscript[N, t]))(Subscript[Y, k]),(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))+cov((∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]),(∑_(k=1)^(Subscript[N, s]))(Subscript[Y, k]))
  = ...

(d)

(e)

We know how how to simulate GBM.

Use this as basis but:
*at each time simulate number jumps    Pois(λ*Δt)
*calculate    Pois(λ*Δt) many     jump sizes    N(m,(θ^2))    and sum these
*add into GBM procedure.

s0=10; r=0.04; σ=0.5; λ=15; m=-0.2; θ=0.5;
n=1000; TT=1;
dt=TT/n;

μ=r-((σ^2)/2)+λ(1-(E^(m+(θ^2)/2)));

dBt=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],n];
dNt=RandomInteger[PoissonDistribution[λ dt],n];

t=Table[i dt,{i,0,n}];
st=Table[s0,{n+1}];

For[i=1,i≤n,i++,
jump=Total[RandomReal[NormalDistribution[m,θ],dNt[[i]]]];
st[[i+1]]=st[[i]]Exp[μ dt+σ dBt[[i]]+jump]
]
ListLinePlot[Transpose[{t,st}],PlotRange->All]