37363 - Lab/Tutorial 6 Solutions

Scott Alexander

Q1

(a)

(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t]))).

𝔼[(Subscript[S, t])] = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t))(e^((1/2)(σ^2)t))    (MGF of N(0,t) RV)
  = (Subscript[S, 0])(e^(r t))
  = 50(e^(3 t/100))

var((Subscript[S, t])) = 𝔼[(Subscript[S, t]^2)]-(((𝔼[(Subscript[S, t])]))^2)
  = 𝔼[(Subscript[S, 0]^2)(e^(2(r-(σ^2)/2)t+2σ (Subscript[B, t])))]-(Subscript[S, 0]^2)(e^(2r t))
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2(r-(σ^2)/2)t))𝔼[(e^(2σ (Subscript[B, t])))]-(Subscript[S, 0]^2)(e^(2r t))
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2(r-(σ^2)/2)t))(e^(2(σ^2)t))-(Subscript[S, 0]^2)(e^(2r t))    (MGF of N(0,t) RV)
  = (Subscript[S, 0]^2)(e^(2r t))((e^((σ^2)t))-1)
  = 2500(e^(3 t/50))((e^(4t/25))-1)

Calculations

Clear[mu,var,b,t];
S0=50; r=3/100; σ=4/10;
mu=Expectation[S0 (E^((r-(σ^2)/2)t+σ b)),b\[Distributed]NormalDistribution[0,(Sqrt[t])]];
var=Expectation[(((S0 (E^((r-(σ^2)/2)t+σ b))))^2),b\[Distributed]NormalDistribution[0,(Sqrt[t])]]-(mu^2)//FullSimplify;
{mu,var}

(b)

First we have
(Subscript[S, t+Δt]) = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)(t+Δt)+σ (Subscript[B, t+Δt])))
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)(t+Δt)+σ ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])+(Subscript[B, t]))))
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t])))(e^((r-(σ^2)/2)Δt+σ ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t]))))
  = (Subscript[S, t])(e^((r-(σ^2)/2)Δt+σ ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])))).

From Proposition 3 Chapter 4 Notes we know that
((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t]))~N(0,Δt).

We also know by Definition 4 Chapter 4 Notes that
(Subscript[B, Δt])~N(0,Δt).

So
((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])) (Overscript[=, d]) (Subscript[B, Δt])
which gives
(Subscript[S, t])(e^((r-(σ^2)/2)Δt+σ ((Subscript[B, t+Δt])-(Subscript[B, t])))) (Overscript[=, d]) (Subscript[S, t])(e^((r-(σ^2)/2)Δt+σ (Subscript[B, Δt]))).

(c)

Using RandomFunction

S0=50; r=3/100; σ=4/10;TT=5; (* GBM parameters *)
steps=1000; dt=TT/steps; (* simulation parameters *)
data=RandomFunction[GeometricBrownianMotionProcess[r,σ,S0],{0,TT,dt}]; (* generate data *)
ListPlot[data,Joined->True,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"},PlotLabel->"Simulated GBM"] (* plot *)

Using RandomReal

S0=50; r=3/100; σ=4/10;TT=5; (* GBM parameters *)
steps=1000; dt=TT/steps; (* simulation parameters *)
rv=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],steps]; (* generate simulated (Subscript[W, Δt]) RVs *)
dataTime=Table[i dt,{i,0,steps}]; (* time points *)
dataStock=Table[S0,{steps+1}]; (* container for simulated (Subscript[S, t]) *)
For[j=1,j≤steps,j++,
dataStock[[j+1]]=dataStock[[j]]*Exp[(r-(σ^2)/2)dt+σ rv[[j]]]
]; (* generate path *)
ListPlot[Transpose[{dataTime,dataStock}],PlotRange->All,
Joined->True,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"},PlotLabel->"Simulated GBM"](* plot *)

(* another way *)
S0=50; r=3/100; σ=4/10;TT=5; (* GBM parameters *)
steps=1000; dt=TT/steps; (* simulation parameters *)
rv=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],steps]; (* generate simulated (Subscript[W, Δt]) RVs *)
dataTime=Table[i dt,{i,0,steps}]; (* time points *)
dataStock=Table[S0,{steps+1}]; (* container for simulated (Subscript[S, t]) *)
dataStock=Accumulate[(r-(σ^2)/2)dt+σ rv];
dataStock=Prepend[dataStock,0];
dataStock=s0 Exp[dataStock];
ListPlot[Transpose[{dataTime,dataStock}],PlotRange->All,
Joined->True,AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])"},PlotLabel->"Simulated GBM"]

Using R

See R code file.

(d)

Using normal distribution

Note that (Subscript[B, T])~N(0,T).

The option price
P = (e^(-r T))𝔼[(K-(Subscript[S, T]),0)]
  = (e^(-r T))𝔼[(K-(Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)T+σ (Subscript[B, T]))),0)]
  = (e^(-r T))(∫_(-∞)^∞)max(K-(Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)T+σ b)),0)(Subscript[f, (Subscript[B, T])])(b)db
where (Subscript[f, (Subscript[B, T])]) is density of (Subscript[B, T]).

S0=50; r=3/100; σ=4/10;TT=5; KK=45; n=(10^5);(* parameters *)
rv=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[TT])],n]; (* simulate (Subscript[B, T]) *)
rv=S0*Exp[(r-(σ^2)/2)*TT+σ*rv];  (* simulate (Subscript[S, T]) *)
payoff[s_]:=(E^(-r TT))Max[s-KK,0]; (* define payoff function *)
rv=Map[payoff,rv]; (* apply payoff function *)
Cn=Mean[rv];  (* calculate estimated price *)
stderrCn=(Sqrt[Variance[rv]/n]); (* calculate standard error of price estimate *)
{Cn,stderrCn} (* display *)

Using normal log-distribution

Note that
ln (Subscript[S, t]) = ln ((Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t]))))
  = ln ((e^(ln (Subscript[S, 0])+(r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t]))))
  = ln (Subscript[S, 0])+(r-((σ^2)/2))t+σ (Subscript[B, t]) ~ N(ln (Subscript[S, 0])+(r-((σ^2)/2))t,(σ^2)t)
so
(Subscript[S, t]) = LN(ln (Subscript[S, 0])+(r-((σ^2)/2))t,(σ^2)t).

The option price
P = (e^(-r T))𝔼[(K-(Subscript[S, T]),0)]
  = (e^(-r T))(∫_(-∞)^∞)max(K-s,0)(Subscript[f, (Subscript[S, T])])(s)ds
  = (e^(-r T))(∫_0^∞)max(K-s,0)(Subscript[f, (Subscript[S, T])])(s)ds
where (Subscript[f, (Subscript[S, T])]) is density of (Subscript[S, T]) (this density is non-zero only for s>0 ).

S0=50; r=3/100; σ=4/10;TT=5; KK=45; n=(10^5); (* parameters *)
rv=RandomReal[LogNormalDistribution[Log[S0]+(r-(σ^2)/2)TT,σ(Sqrt[TT])],n];  (* generate (Subscript[S, T]) RVs *)
payoff[s_]:=(E^(-r TT))Max[s-KK,0]; (* define payoff function *)
rv=Map[payoff,rv]; (* apply payoff function *)
Cn=Mean[rv];  (* calculate estimated price *)
stderrCn=(Sqrt[Variance[rv]/n]); (* calculate standard error of price estimate *)
{Cn,stderrCn} (* display *)

Black-Scholes Price

price[t_,TT_,St_,KK_,r_,q_,σ_,type_]:=
Module[{d1,d2,Nd1,Nd2},
d1=(1/(σ(Sqrt[TT-t])))(Log[(St/KK)]+(r-q+(σ^2)/2)(TT-t));
d2=d1-σ(Sqrt[TT-t]);
Nd1=CDF[NormalDistribution[],type*d1];
Nd2=CDF[NormalDistribution[],type*d2];
type*((E^(-q(TT-t)))St*Nd1-(E^(-r(TT-t)))KK*Nd2)
];
S0=50; r=3/100; q=0; σ=4/10;TT=5; KK=45;
price[0,TT,S0,KK,r,q,σ,1]//N
Plot3D[price[t,TT,St,KK,r,q,σ,1],{t,0,5},{St,0,80},AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])","Put price"},PlotRange->All]

Using R

See R code file.

Q2

(a)

We have
(Subscript[Y, t])  = ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]) .

As a linear combination of joint Gaussian processes, (Subscript[Y, t]) is Gaussian with
𝔼[(Subscript[Y, t])] = 𝔼[ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]) ] = ρ 𝔼[(Subscript[B, t])]+(Sqrt[1-(ρ^2)])𝔼[(Subscript[W, t])]
  = 0
and
cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Y, s])) = cov(ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]),ρ (Subscript[B, s])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, s]))
  = (ρ^2)cov((Subscript[B, t]),(Subscript[B, s]))+ρ(Sqrt[1-(ρ^2)]) cov((Subscript[B, t]),(Subscript[W, s]))+(Sqrt[1-(ρ^2)])ρ cov((Subscript[W, t]),(Subscript[B, s]))+(1-(ρ^2))cov((Subscript[W, t]),(Subscript[W, s]))

  = (ρ^2)min(t,s)+0+0+(1-(ρ^2))min(t,s)
  = min(t,s).

So (Subscript[Y, t]) is a standard BM .

(b)

The covariance
cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[B, t])) = cov(ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]),(Subscript[B, t])) 
  = ρ cov((Subscript[B, t]),(Subscript[B, t])) +(Sqrt[1-(ρ^2)])cov((Subscript[W, t]),(Subscript[B, t]))
  = ρ t.

So the correlation
corr((Subscript[Y, t]),(Subscript[B, t])) = ((cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[B, t])))/((Sqrt[var((Subscript[Y, t]))])(Sqrt[var((Subscript[B, t]))]))) = ((ρ t)/((Sqrt[t])(Sqrt[t])))
  = ρ.

Q 3

We have    (Subscript[X, t])~N(0,1),   t∈ℤ,    be independent RVs and
(Subscript[Y, t]) = 2(Subscript[X, t+1])-3(Subscript[X, t-1]),  t∈ℤ.

Part (a)

(Subscript[Z, t]) = (Subscript[Y, 1])(Subscript[Y, t+3]) =  (2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))(2(Subscript[X, t+4])-3(Subscript[X, t+2]))
  = 4(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])-6(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])-6(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])+9(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])

m(t) = 𝔼[(Subscript[Z, t])] = 𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])-6(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])-6(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])+9(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])]
  = 4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])]

  = ({{{, ({{4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, -2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0]^2)]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, -2])],, t=-4}, {4𝔼[(Subscript[X, 2]^2)]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, 2])]+9𝔼[(Subscript[X, 0]^2)],, t=-2}, {4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, 4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2]^2)]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, 4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, 2])],, t=0}, {4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])],, otherwise}})}})

  = ({{{, ({{4𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, -2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0]^2)]+9𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, -2])],, t-4}, {4𝔼[(Subscript[X, 2]^2)]-6𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, 2])]+9𝔼[(Subscript[X, 0]^2)],, t=-2}, {4𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, 4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2]^2)]-6𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, 4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, 2])],, t=0}, {4𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, t+4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, t+2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, t+4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, t+2])],, otherwise}})}})
        (by independence)

  = ({{{, ({{4*0*0-6*0*0-6*1+9*0*0,, t-4}, {4*1-6*0*0-6*0*0+9*1,, t=-2}, {4*0*0-6*1-6*0*0+9*0*0,, t=0}, {4*0*0-6*0*0-6*0*0+9*0*0,, otherwise}})}})

  = ({{{, ({{-6,, t-4}, {13,, t=-2}, {-6,, t=0}, {0,, otherwise}})}})

As the expectation is not constant (Subscript[Z, t]) is not stationary.

Part (b)

(Subscript[Z, t]) = cos(t)(Subscript[Y, 1])+sin(t)(Subscript[Y, 3])
  = cos(t)(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t)(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))

m(t) = 𝔼[(Subscript[Z, t])] = 𝔼[cos(t)(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t)(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))]
  = cos(t)(2𝔼[(Subscript[X, 2])]-3𝔼[(Subscript[X, 0])])+sin(t)(2𝔼[(Subscript[X, 4])]-3𝔼[(Subscript[X, 2])])
  = 0

Q(t+h,t) = cov((Subscript[Z, t+h]) ,(Subscript[Z, t]))
  = cov(cos(t+h)(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t+h)(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2])),cos(t)(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t)(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2])))

  = cos(t+h)cos(t)cov(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]),2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+cos(t+h)sin(t)cov(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]),2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))
      + sin(t+h)cos(t)cov(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]),2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t+h)sin(t)cov(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]),2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))

  = cos(t+h)cos(t)cov(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]),2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t+h)sin(t)cov(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]),2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))    (independence)

  = cos(t+h)cos(t)var(2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))+sin(t+h)sin(t)var(2(Subscript[X, 4])-3(Subscript[X, 2]))

  = cos(t+h)cos(t)(4var((Subscript[X, 2]))+9var((Subscript[X, 0])))+sin(t+h)sin(t)(4var((Subscript[X, 4]))+9var((Subscript[X, 4])))    (covariance terms are zero)

  = 13(cos(t+h)cos(t)+sin(t+h)sin(t)) 
  = 13cos(t+h-t)
  = 13cos(h)

As (Subscript[Z, t]) has constant expectation and covariance function depending only on the time step h,
it is weakly stationary stationary (Def 9 Lecture Notes Chapter 4).