37363 - Lab/Tutorial 6 Solutions

Scott Alexander

Q1

(a)

(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t]))).

𝔼[(Subscript[S, t])] = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t])))]
  = 𝔼[(Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t))(e^(σ (Subscript[B, t])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t))𝔼[(e^(σ (Subscript[B, t])))]
  = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t))(e^((1/2)(σ^2)t))    ((Subscript[B, t])~N(0,t))
  = (Subscript[S, 0])(e^(r t))

var((Subscript[S, t])) = 𝔼[(Subscript[S, t]^2)]-((𝔼[(Subscript[S, t])])^2)
  = ...

(b)

(c)

s0=50; r=0.03; σ=0.4; TT=5;
steps=1000;
dt=TT/steps;
time=Table[i dt,{i,0,steps}];
rv=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],steps];

(* using loop *)
st=Table[s0,steps+1];
For[i=1,i≤steps,i++,
st[[i+1]]=st[[i]]*Exp[(r-(σ^2)/2)dt+σ rv[[i]]]
]
ListLinePlot[Transpose[{time,st}]]

(* another way *)
st2=Accumulate[(r-(σ^2)/2)dt+σ rv];
st2=Prepend[st2,0];
st2=s0*Exp[st2];
ListLinePlot[Transpose[{time,st2}]]

(d)

s0=50; r=0.03; σ=0.4; TT=5; KK=45;
n=1000000;
rv1=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[TT])],n];
rv1=s0*Exp[(r-(σ^2)/2)TT+σ rv1];
payoff[s_]:=(E^(-r TT))Max[s-KK,0];
rv1=Map[payoff,rv1];
{Mean[rv1],StandardDeviation[rv1]/(Sqrt[n])}

Black-Scholes Price

(* use "type=1" for calls and "type=-1" for puts *)
price[t_,TT_,St_,KK_,r_,q_,σ_,type_]:=
Module[{d1,d2,Nd1,Nd2},
d1=(1/(σ(Sqrt[TT-t])))(Log[(St/KK)]+(r-q+(σ^2)/2)(TT-t));
d2=d1-σ(Sqrt[TT-t]);
Nd1=CDF[NormalDistribution[],type*d1];
Nd2=CDF[NormalDistribution[],type*d2];
type*((E^(-q(TT-t)))St*Nd1-(E^(-r(TT-t)))KK*Nd2)
];
S0=50; r=3/100; q=0; σ=4/10;TT=5; KK=45;
price[0,TT,S0,KK,r,q,σ,1]//N
Plot3D[price[t,TT,St,KK,r,q,σ,1],{t,0,5},{St,0,80},AxesLabel->{"t","(Subscript[S, t])","Call price"},PlotRange->All]

Q2

(a)

We have
(Subscript[Y, t])  = ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]) .

You need to show
*(Subscript[Y, t]) is Gaussian
*𝔼[(Subscript[Y, t])] = 0
*cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Y, s])) = min(t,s)


cov(ρ (Subscript[B, t])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, t]) ,ρ (Subscript[B, s])+(Sqrt[1-(ρ^2)])(Subscript[W, s]) )
  = (break into 4 cov terms)

(b)

Q 3

We have    (Subscript[X, t])~N(0,1),   t∈ℤ,    be independent RVs and
(Subscript[Y, t]) = 2(Subscript[X, t+1])-3(Subscript[X, t-1]),  t∈ℤ.

Part (a)

(Subscript[Z, t]) = (Subscript[Y, 1])(Subscript[Y, t+3])
  = (2(Subscript[X, 2])-3(Subscript[X, 0]))(2(Subscript[X, t+4])-3(Subscript[X, t+2]))
  = 4(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])-6(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])-6(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])+9(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])

Checking expectation
𝔼[(Subscript[Z, t])] = 𝔼[4(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])-6(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])-6(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])+9(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])]
  = 4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+4])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, t+2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+4])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, t+2])]
  
= ({{{, ({{4𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])(Subscript[X, -2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, 0])]+9𝔼[(Subscript[X, 0])(Subscript[X, -2])],, t=-4}, {,, t=-2}, {,, t=0}, {,, otherwise}})}})

= ({{{, ({{4𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, 0])]-6𝔼[(Subscript[X, 2])]𝔼[(Subscript[X, -2])]-6𝔼[(Subscript[X, 0]^2)]+9𝔼[(Subscript[X, 0])]𝔼[(Subscript[X, -2])],, t=-4}, {,, t=-2}, {,, t=0}, {,, otherwise}})}})
        (independence property)

= ({{{, ({{4*0*0-6*0*0-6*1+9*0*0,, t=-4}, {,, t=-2}, {,, t=0}, {,, otherwise}})}})

= ({{{, ({{-6,, t=-4}, {,, t=-2}, {,, t=0}, {0,, otherwise}})}})

Checking covariance (only if mean is not constant)
cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h])) = ...

Part (b)