37363 - Lab/Tutorial 3 Solutions

Scott Alexander

Q1

(a)

Note that the log-normal property
(Subscript[X, k]) ~ LN((Subscript[μ, k]),(Subscript[σ, k]^2)), k=1,2
can be re-stated as the normal property
ln (Subscript[X, k]) ~ N((Subscript[μ, k]),(Subscript[σ, k]^2)), k=1,2.

From the hints we have
ln X = (({{ln (Subscript[X, 1])}, {ln (Subscript[X, 2])}}))~N((({{(Subscript[μ, 1])}, {(Subscript[μ, 2])}})),(({{(Subscript[σ, 1]^2), 0}, {0, (Subscript[σ, 2]^2)}}))).

Write
ln Y = a*ln (Subscript[X, 1])+b*ln (Subscript[X, 2])
where you determine a,b.

Determine what b,A are in terms of Thrm 2 Ch 2.

Proceeding
ln Y = ln ((Sqrt[(Subscript[X, 1])])/(Subscript[X, 2]^2)) = ln ((Subscript[X, 1]^(1/2))/(Subscript[X, 2]^2)) = ln (Subscript[X, 1]^(1/2))-(Subscript[lnX, 2]^2)
  = (1/2)ln (Subscript[X, 1])-2(Subscript[lnX, 2])
  = 0+(({{(1/2), -2}}))(({{ln (Subscript[X, 1])}, {ln (Subscript[X, 2])}})).

So    ln Y~N((({{(1/2), -2}}))(({{(Subscript[μ, 1])}, {(Subscript[μ, 2])}}))=((Subscript[μ, 1])/2)-2 (Subscript[μ, 2]),(({{(1/2), -2}}))(({{(Subscript[σ, 1]^2), 0}, {0, (Subscript[σ, 2]^2)}}))(({{(1/2)}, {-2}}))=((Subscript[σ, 1]^2)/4)+4 (Subscript[σ, 2]^2)).

(({{(1/2), -2}})).(({{(Subscript[μ, 1])}, {(Subscript[μ, 2])}}))

(({{(1/2), -2}})).(({{(Subscript[σ, 1]^2), 0}, {0, (Subscript[σ, 2]^2)}})).(({{(1/2)}, {-2}}))

(b)

var(Y) = 𝔼[(Y^2)]-((𝔼[Y])^2)

First we have
𝔼[Y] = 𝔼[(e^(ln Y))] = 𝔼[(e^(1*ln Y))]
  = (e^(𝔼[ln Y]*1+(1/2)1*var(ln Y)*1))    (MGF normal RV -- Thrm 2 Ch 2)
  = exp(((Subscript[μ, 1])/2)-2 (Subscript[μ, 2])+(1/2)(((Subscript[σ, 1]^2)/4)+4 (Subscript[σ, 2]^2)))

𝔼[(Y^2)] = 𝔼[(e^(ln (Y^2)))] = 𝔼[(e^(2*ln Y))]
  = ?

(c)

PDF[LogNormalDistribution[μ,σ],y]

(d)

var(Y) = 𝔼[(Y^2)]-((𝔼[Y])^2)

We need
𝔼[Y] = (∫_(-∞)^∞)y*(Subscript[f, Y])(y)dy

In R use "dlnorm"

(e)

(f)

Expectation[z,Distributed[z,ExponentialDistribution[λ]]]

Expectation[z,z\[Distributed]ExponentialDistribution[λ]]

Q2

(a)

The CF
𝔼[(e^(i u Y))] = 𝔼[(e^(i u ((1/3)(Subscript[X, 1])+5(Subscript[X, 2]))))]
  = 𝔼[(e^(i u (1/3)(Subscript[X, 1])))(e^(i u 5(Subscript[X, 2])))]
  = 𝔼[(e^(i ((1/3)u)(Subscript[X, 1])))]𝔼[(e^(i (5u) (Subscript[X, 2])))]    (independence)
  = ?

(1/I)D[(((1-I u β))^(-7α/3)),u]/.u->0

(b)

Y is Gamma distributed.

(c)

(d)

Use "dgamma" function in R.

(e)

Q3

Info

We have    (({{X}, {Y}, {Z}}))~N((({{3}, {2}, {-5}})),(({{1, 1, -1}, {1, 2, -2}, {-1, -2, 3}}))).

(a)

Find distribution of    (({{(Subscript[H, 1])}, {(Subscript[H, 2])}})).

Note that
(({{(Subscript[H, 1])}, {(Subscript[H, 2])}})) = b+A(({{X}, {Y}, {Z}})) = (({{0}, {□}}))+(({{-3, 4, 0}, {□, □, □}}))(({{X}, {Y}, {Z}})).

You complete b,A.

Then by Thrm 2 Ch 2
(({{(Subscript[H, 1])}, {(Subscript[H, 2])}})) ~ N(b+A 𝔼(({{X}, {Y}, {Z}}))=(({{□}, {□}})),A cov((({{X}, {Y}, {Z}})),(({{X}, {Y}, {Z}})))(A^T)=(({{□, □}, {□, □}})))

(b)

By TNC Part 3
V = 𝔼[(Subscript[H, 1])|Z] = 𝔼[-3X+4Y|Z]
  = 𝔼[-3X+4Y]+((cov(-3X+4Y,Z))/(var(Z)))(Z-𝔼[Z])
  = -3𝔼[X]+4𝔼[Y]+((-3cov(X,Z)+4cov(Y,Z))/(var(Z)))(Z-𝔼[Z])


Important property.
cov((∑_(i=1)^m)(Subscript[a, i])(Subscript[A, i]),(∑_(j=1)^n)(Subscript[b, j])(Subscript[B, j])) = 𝔼[(∑_(i=1)^m)(Subscript[a, i])(Subscript[A, i])(∑_(j=1)^n)(Subscript[b, j])(Subscript[B, j])]-𝔼[(∑_(i=1)^m)(Subscript[a, i])(Subscript[A, i])]𝔼[(∑_(j=1)^n)(Subscript[b, j])(Subscript[B, j])]
  = 𝔼[(∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])(Subscript[A, i])(Subscript[B, j])]-𝔼[(∑_(i=1)^m)(Subscript[a, i])(Subscript[A, i])]𝔼[(∑_(j=1)^n)(Subscript[b, j])(Subscript[B, j])]
  = (∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])𝔼[(Subscript[A, i])(Subscript[B, j])]-(∑_(i=1)^m)(Subscript[a, i])𝔼[(Subscript[A, i])](∑_(j=1)^n)(Subscript[b, j])𝔼[(Subscript[B, j])]
  = (∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])𝔼[(Subscript[A, i])(Subscript[B, j])]-(∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])𝔼[(Subscript[A, i])]𝔼[(Subscript[B, j])]
  = (∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])(𝔼[(Subscript[A, i])(Subscript[B, j])]-𝔼[(Subscript[A, i])]𝔼[(Subscript[B, j])])
  = (∑_(i=1)^m)(∑_(j=1)^n)(Subscript[a, i])(Subscript[b, j])cov((Subscript[A, i]),(Subscript[B, j])).

(c)

𝔼[((((Subscript[H, 1])-V))^2)] = 𝔼[(((-3X+4Y-𝔼[-3X+4Y|Z]))^2)]

(d)

Method 1 -- use Thr 2 Ch 2.

Method 2 -- use tower law page 49 Ch 1.