37363 - Lab/Tutorial 1

Scott Alexander

Q1

(a)

var(X) = 𝔼[(X^2)]-𝔼[X]

𝔼[X] = (∫_(-∞)^∞)x*(Subscript[f, X])(x)dx = (∫_(-∞)^0)x*(Subscript[f, X])(x)dx+(∫_0^∞)x*(Subscript[f, X])(x)dx
  = (∫_(-∞)^0)x*0dx+(∫_0^∞)x*λ (e^(-λ x))dx
  = (∫_0^∞)x*λ (e^(-λ x))dx
  = ?

Mean[ExponentialDistribution[λ]]

Variance[ExponentialDistribution[λ]]

Expectation[x,Distributed[x,ExponentialDistribution[λ]]]

Expectation[(x^2),Distributed[x,ExponentialDistribution[λ]]]

(b)

We have
(Subscript[f, X,Y])(x,y) = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))exp(-(1/(2(1-(ρ^2))))(((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(Subscript[σ, X]^2))+((((y-(Subscript[μ, Y])))^2)/(Subscript[σ, Y]^2))-((2ρ(x-(Subscript[μ, X]))(y-(Subscript[μ, Y])))/((Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y]))))).

Hint. Use change of variables
u=((x-(Subscript[μ, X]))/(Subscript[σ, X]))    and    v=((y-(Subscript[μ, Y]))/(Subscript[σ, Y]))
and then complete the square.

The marginal
(Subscript[f, X])(x) = (∫_(-∞)^∞)(Subscript[f, X,Y])(x)dy
  = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))(∫_(-∞)^∞)exp(-(1/(2(1-(ρ^2))))(((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(Subscript[σ, X]^2))+((((y-(Subscript[μ, Y])))^2)/(Subscript[σ, Y]^2))-((2ρ(x-(Subscript[μ, X]))(y-(Subscript[μ, Y])))/((Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])))))dy
  = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))(∫_(-∞)^∞)exp(-(((u^2)+(v^2)-2ρ u v)/(2(1-(ρ^2)))))(Subscript[σ, Y])dv.


Now note that
(u^2)+(v^2)-2ρ u v = (((v-ρ u))^2)+(u^2)-(ρ^2)(u^2)
  = (((v-ρ u))^2)+(u^2)(1-(ρ^2)).

So
(Subscript[f, X])(x) = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))(∫_(-∞)^∞)exp(-(((u^2)+(v^2)-2ρ u v)/(2(1-(ρ^2)))))(Subscript[σ, Y])dv
  = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))(∫_(-∞)^∞)exp(-(((((v-ρ u))^2)+(u^2)(1-(ρ^2)))/(2(1-(ρ^2)))))(Subscript[σ, Y])dv
  = (1/(2π (Subscript[σ, X])(Subscript[σ, Y])(Sqrt[1-(ρ^2)])))exp(-(((u^2)(1-(ρ^2)))/(2(1-(ρ^2)))))(∫_(-∞)^∞)exp(-((((v-ρ u))^2)/(2(1-(ρ^2)))))(Subscript[σ, Y])dv
  = (1/((Sqrt[2π]) (Subscript[σ, X])))exp(-((u^2)/2))(∫_(-∞)^∞)(1/(Sqrt[2π(1-(ρ^2))]))exp(-((((v-ρ u))^2)/(2(1-(ρ^2)))))dv
  = ?

(c)

We need
𝔼[X] = (∫_(-∞)^∞)x*(Subscript[f, X])(x)dx
  = (∫_(-∞)^∞)x*(1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X])]))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx
  = (1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X])]))(∫_(-∞)^∞)x (e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx.

Note that
(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2))))) = (e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))(d/(dx))(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))) = -(1/(Subscript[σ, X]^2))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))(x-(Subscript[μ, X]))
or
-(Subscript[σ, X]^2)(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2))))) = (e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))(x-(Subscript[μ, X]))
so
x (e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2))))) = (Subscript[μ, X])(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))-(Subscript[σ, X]^2)(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2))))).

Therefore
𝔼[X] = (1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X]^2)]))(∫_(-∞)^∞)((Subscript[μ, X])(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))-(Subscript[σ, X]^2)(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2))))))dx
  = (1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X]^2)]))(∫_(-∞)^∞)(Subscript[μ, X])(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx-(1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X]^2)]))(Subscript[σ, X]^2)(∫_(-∞)^∞)(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx
  = (Subscript[μ, X])(∫_(-∞)^∞)(1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X]^2)]))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx-(1/(Sqrt[2π (Subscript[σ, X]^2)]))(Subscript[σ, X]^2)(∫_(-∞)^∞)(d/(dx))(e^(-((((x-(Subscript[μ, X])))^2)/(2(Subscript[σ, X]^2)))))dx
  = ?

(d)

𝔼[(X^2)] = ((d^2)/(d(ω^2)))(Subscript[φ, X])(ω)(Subscript[|, ω=0])

Expectation[(x^2),Distributed[x,NormalDistribution[(Subscript[μ, X]),(Subscript[σ, X])]]]

D[(E^(I (Subscript[μ, X])ω-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2))),{ω,2}]
(1/(I^2))D[(E^(I (Subscript[μ, X])ω-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2))),{ω,2}]/.ω->0

(e)

(∫_(-∞)^∞)|(e^(-i ω x))(Subscript[φ, X])(ω)|dω = (∫_(-∞)^∞)|(e^(-i ω x))(e^(i (Subscript[μ, X])ω-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2)))|dω
  = (∫_(-∞)^∞)|(e^(i ((Subscript[μ, X])-x)ω))|(e^(-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2)))dω
  = (∫_(-∞)^∞)|cos(((Subscript[μ, X])-x)ω)+i sin(((Subscript[μ, X])-x)ω)|(e^(-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2)))dω
  = (∫_(-∞)^∞)(Sqrt[cos(((((Subscript[μ, X])-x)ω))^2)+sin(((((Subscript[μ, X])-x)ω))^2)])(e^(-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2)))dω
  = (∫_(-∞)^∞)(e^(-(1/2)(Subscript[σ, X]^2)(ω^2)))dω =(∫_(-∞)^∞)(e^(-(1/(2(1/(Subscript[σ, X]^2))))(ω^2)))dω
  = ?

Q2

(a)

(x^2)((dy)/(dx))+x(x+2)y = 0
⟹    ((dy)/(dx)) = -(((x^2)+2x)/(x^2))y = -(1+(2/x))y
⟹    ((dy)/y) = -(1+(2/x))dx

so
∫((dy)/y) = -∫(1+(2/x))dx

DSolve[(x^2)y'[x]+x(x+2)y[x]==0,y[x],x]

(b)

We need
(x^2)((dy)/(dx))+x(x+2)y = (e^x).

Recall that the solution to
((dy)/(dx))+P(x)y=f(x)
can be found by integrating both sides of
(d/(dx))((e^(∫P(x)dx))y) = (e^(∫P(x)dx))f(x).

DSolve[(x^2)y'[x]+x(x+2)y[x]==(E^x),y[x],x]

Q3

(a)

AA={{2,1,11},{4,3,25},{0,1,3}};
b={18,40,4};
LinearSolve[AA,b]

(b)

The eingenvalue/eignevector equation is
A x = λ x
or
(A-λ I)x = 0.

Note that if    (A-λ I)    has an inverse then
(A-λ I)x = 0    ⟹    (((A-λ I))^(-1))(A-λ I)x = (A-λ I)0
⟹    x = 0.

A non-trivial solution exists if    (A-λ I)    is not invertible, which is the case if
det(A-λ I)=0.

AA={{7,4,16},{2,5,8},{-2,-2,-5}};
eig=Eigensystem[AA];
eig//MatrixForm

Q4

(a)

Series[f[x], {x,a,3}]

(b)

Plot[Cos[x](E^x),{x,-3,3}]