Stoch Proc - Lab/Tutorial 12 Solutions

Scott Alexander

Question 1

(a)

Clear[c0,c1,c2,c3,t];
ψ={-3,-6,-5,3,21,46,67,74,67,46,21,3,-5,-6,-3}/320; (* filter coefficients *)
x[t_]:=c0+c1 t+c2 (t^2)+c3 (t^3)+z[t];
(∑_(j=-7)^7)ψ[[j+8]]x[t-j]//Expand

(b)

c0=-20; c1=4; c2=-0.13; c3=0.001; σ=10; TT=100; (* parameters *)
ψ={-3,-6,-5,3,21,46,67,74,67,46,21,3,-5,-6,-3}/320; (* filter coefficients *)

t=Range[TT];
zt=RandomReal[NormalDistribution[0,10],TT];
mt=c0+c1 t+c2 (t^2)+c3 (t^3);
xt=mt+zt;

yt=Table[ψ.xt[[j-7;;j+7]],{j,8,TT-7}];

p1=ListLinePlot[Transpose[{t,zt}],AxesLabel->{"t","(Subscript[z, t])"}];
p2=ListLinePlot[Transpose[{t,mt}],AxesLabel->{"t","(Subscript[m, t])"}];
p3=ListLinePlot[Transpose[{t,xt}],AxesLabel->{"t","(Subscript[x, t])"}];
p4=ListLinePlot[Transpose[{t[[8;;TT-7]],yt}],AxesLabel->{"t","(Subscript[y, t])"},PlotRange->{{1,TT},Automatic}];
GraphicsGrid[{{p1,p2},{p3,p4}}]

Question 2

(a)

(Subscript[X, t]) = λ (Subscript[X, t-1])+(Subscript[Z, t]) = (∑_(j=0)^∞)(λ^j)(Subscript[Z, t-j])

(b)

(Subscript[X, t]) = (Subscript[Z, t])+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[Z, t-j])

cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, t+h])) = cov((Subscript[Z, t])+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h])+(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])(Subscript[Z, t+h-k]))	
  = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h]))+cov((Subscript[Z, t]),(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])(Subscript[Z, t+h-k]))+cov((∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h]))+cov((∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[Z, t-j]),(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])(Subscript[Z, t+h-k]))
  = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h-k]))+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(j=1)^q)(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h-k]))

Case    h=0.
cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, t+h])) = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t]))+(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t-k]))+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t]))+(∑_(j=1)^q)(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t-k]))
  = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t]))+0+0+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[θ, j])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t-j]))
  = (σ^2)(1+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j]^2))

Case    h>q.
cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, t+h])) = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h-k]))+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(j=1)^q)(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h-k]))
  = 0+0+0+0 = 0

Case    0<h≤q.
cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, t+h])) = cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t]),(Subscript[Z, t+h-k]))+(∑_(j=1)^q)(Subscript[θ, j])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h]))+(∑_(j=1)^q)(∑_(k=1)^q)(Subscript[θ, j])(Subscript[θ, k])cov((Subscript[Z, t-j]),(Subscript[Z, t+h-k]))
  = ...

(c)

(Subscript[X, t]) = -(11/21)(Subscript[X, t-1])+(2/7)(Subscript[X, t-2])+(Subscript[Z, t])-(6/5)(Subscript[Z, t-1])-(8/5)(Subscript[Z, t-2]) 

Show process is causal.

Then follow procedure page 35 Ch 8.

If causal than
(Subscript[X, t]) ≈ (∑_(j=0)^4)(Subscript[ψ, j])(Subscript[Z, t-j]).

Question 3

(a)

(Subscript[Y, t]) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u])

Set    (Subscript[H, t]) = (∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u])
with drift
(Subscript[a, t]) = 0
and diffusion
(Subscript[b, t]) = (e^t).

So we have
(Subscript[Y, t]) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]).

Set
g(t,h) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))h.

Then we have
(∂/(∂t))g(t,h) = -g(t,h),
(∂/(∂h))g(t,h) = (e^(-t))
((∂^2)/(∂(h^2)))g(t,h) = 0.

So by Ito
g(t,(Subscript[H, t])) = g(0,(Subscript[H, 0]))+(∫_0^t)(-g(s,(Subscript[H, s]))+0+0)ds+(∫_0^t)(e^s)(e^(-s))d(Subscript[B, s])
  = g(0,(Subscript[H, 0]))-(∫_0^t)g(s,(Subscript[H, s]))ds+(∫_0^t)d(Subscript[B, s])
which is
(Subscript[Y, t]) = (Subscript[Y, 0])-(∫_0^t)(Subscript[Y, s])ds+(Subscript[B, t])
or in SDE form
d(Subscript[Y, t]) = -(Subscript[Y, t])dt+d(Subscript[B, t]).


Alternatively we can proceed as
d((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t])) = (∂/(∂t))((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]))dt+(∂/(∂h))((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]))d(Subscript[H, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(h^2)))((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]))d(Subscript[H, t])d(Subscript[H, t])
  = -((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]))dt+(e^(-t))d(Subscript[H, t])+0
  = -((Subscript[Y, 0])(e^(-t ))+(e^(-t))(Subscript[H, t]))dt+(e^(-t))(e^t)d(Subscript[B, t])
  = -(Subscript[Y, t])dt+d(Subscript[B, t]).

(b)

(c)

(Subscript[X, t])=1+(∫_0^t)r (Subscript[X, u])du+(∫_0^t)σ (Subscript[X, u])d(Subscript[B, u])

(d)