Stoch Proc - Lab/Tutorial 11 Solutions

Scott Alexander

Question 1

Part (a)

Note that (e^(θ u)) is non-random, so we can use Wiener's stochastic integral (Proposition 1 page 36 Chapter 8 Notes).

By Proposition 2 page 37 Chapter 11 Notes
(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]) = (∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]).

So we have two stochastic integrals we need to work with.

For the first integral on the RHS we have
(∫_0^t)((((e^(θ u))))^2)du = (∫_0^t)(e^(2θ u))du = (Subscript[[((e^(2 θ u))/(2 θ))], 0]^t) =  (((e^(2 θ t))-1)/(2 θ))<∞
so by Proposition 1
(∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]) ~ N(0,(∫_0^t)((((e^(θ u))))^2)du) ~ N(0,(((e^(2 θ t))-1)/(2 θ))).

Similarly for the second integral on the RHS we have
(∫_0^s)((((e^(θ u))))^2)du = (∫_0^s)(e^(2θ u))du = (Subscript[[((e^(2 θ u))/(2 θ))], 0]^s) =  (((e^(2 θ s))-1)/(2 θ))<∞.
so by Proposition 1 page 36 Chapter 11 Notes
(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]) ~ N(0,(∫_0^s)((((e^(θ u))))^2)du) ~ N(0,(((e^(2 θ s))-1)/(2 θ))).

But    (∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])    is the sum of joint-Guassian RVs and so is Guassian.
So we need to find expectation and variance.

We have
𝔼[(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])] = 𝔼[(∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])] = 𝔼[(∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])]-𝔼[(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])]
  = 0-0
  = 0.

Also
var((∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])) = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))
  = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-2cov((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]),(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))+var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))
  = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-2cov((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u])+(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]),(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))+var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))
  = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-2cov((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]),(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-2cov((∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]),(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))+var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))
  = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-2var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))+var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))    (using independence of increments property)
  = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))-var((∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]))
  = (((e^(2 θ t))-1)/(2 θ))-(((e^(2 θ s))-1)/(2 θ))
  = (((e^(2 t θ))-(e^(2 s θ)))/(2 θ)).

So
(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[W, u]) ~ N(0,(((e^(2 t θ))-(e^(2 s θ)))/(2 θ))).

Part (b)

We have
(Subscript[Y, t]) = (e^(-(t-s)))(Subscript[Y, s])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u]).

Using arguments similar to those in (a), we can show that
(∫_s^t)(e^(2u))du =(((e^(2 t))-(e^(2 s)))/2)<∞
implies that
(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u])~N(0,(((e^(2 t))-(e^(2 s)))/2))
by Proposition 1 page 36 Chapter 11 Notes.

The transition distribution function F is given by
F(t,y|x,s) := P((Subscript[Y, t])≤y|(Subscript[Y, s])=x)
  = P((e^(-(t-s)))(Subscript[Y, s])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u])≤y|(Subscript[Y, s])=x)
  = P((e^(-(t-s)))x+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u])≤y|(Subscript[Y, s])=x)    (applying condition)
  = P((e^(-(t-s)))x+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u])≤y)    (independence of Brownian increments)
  = P((e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u])≤y-(e^(-(t-s)))x).

Noting that
(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[W, u]) ~ N(0,(e^(-2t))(((e^(2 t))-(e^(2 s)))/2) = ((1-(e^(-2(t-s))))/2))
this becomes
F(t,y|x,s) = (∫_(-∞)^(y-(e^(-(t-s)))x))(1/(Sqrt[2π((1-(e^(-2(t-s))))/2)]))(e^(-((u^2)/(2((1-(e^(-2(t-s))))/2)))))du
  = (∫_(-∞)^(y-(e^(-(t-s)))x))(1/(Sqrt[π(1-(e^(-2(t-s))))]))(e^(-((u^2)/(1-(e^(-2(t-s)))))))du.

Then we can obtain the transition density function as
f(t,y|x,s)  = (∂/(∂y))F(t,y|x,s)
  = (∂/(∂y))(∫_(-∞)^(y-(e^(-(t-s)))x))(1/(Sqrt[π(1-(e^(-2(t-s))))]))(e^(-((u^2)/(1-(e^(-2(t-s)))))))du
  = (1/(Sqrt[π(1-(e^(-2(t-s))))]))(e^(-((((y-(e^(-(t-s)))x))^2)/(1-(e^(-2(t-s)))))))(∂/(∂y))(y-(e^(-(t-s)))x)
(1/(Sqrt[π(1-(e^(-2(t-s))))]))(e^(-((((y-(e^(-(t-s)))x))^2)/(1-(e^(-2(t-s))))))).

Part (c)

cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Y, s])) = cov((Subscript[Y, 0])(e^(-t))+(e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(Subscript[Y, 0])(e^(-s))+(e^(-s))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))
  = (e^(-(t+s)))cov((∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))    (remove non-random terms)
  = (e^(-(t+s)))cov((∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u])+(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))
  = (e^(-(t+s)))(cov((∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]),(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))+cov((∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u])))
  =(e^(-(t+s)))var((∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))    (independent increments)
  =(e^(-(t+s)))(∫_0^s)(e^(2u))du    (Proposition 1 Page 36 Chapter 11 Notes)
  = (Subscript[(e^(-(t+s)))[((e^(2u))/2)], 0]^s) = (e^(-(t+s)))((((e^(2s))-1)/2)) = (((e^(-(t-s)))-(e^(-(t+s))))/2)

Question 2

(a) Method 1

Formal integral notation

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) = (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t]))) = g(t,(Subscript[B, t])).

First note that the (Subscript[B, t]) has the Ito representation
(Subscript[B, t]) = (∫_0^t)d(Subscript[B, u])
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = 0
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = 1.

The stochastic integral is well defined as
(∫_0^t)(1^2)du = t <∞.

To see that
(∫_0^t)d(Subscript[B, u]) = (Subscript[B, t])-(Subscript[B, 0]) = (Subscript[B, t])
consider the partition of [0,t] defined by (Subscript[t, k])=k (t/n) where k=0,1,...,n and
(Subscript[Z, n]) = (∑_(k=1)^n)((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])) = ((Subscript[B, (Subscript[t, 1])])-(Subscript[B, (Subscript[t, 0])]))+((Subscript[B, (Subscript[t, 2])])-(Subscript[B, (Subscript[t, 1])]))+⋯+((Subscript[B, (Subscript[t, n])])-(Subscript[B, (Subscript[t, n-1])]))
 = (Subscript[B, (Subscript[t, n])])-(Subscript[B, (Subscript[t, 0])]) = (Subscript[B, t])-(Subscript[B, 0])  = (Subscript[B, t]).

Then
(lim_(n->∞)) (Subscript[Z, n]) = (lim_(n->∞)) (Subscript[B, t]) = (Subscript[B, t]).    (see page 33 Chapter 11 Notes)

Partial derivatives.
(∂/(∂t))g(t,b) = (∂/(∂t))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b)) = (r-(1/2)(σ^2))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b))
(∂/(∂b))g(t,b) = (∂/(∂b))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b)) = σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b))
((∂^2)/(∂(b^2)))g(t,b) = ((∂^2)/(∂(b^2)))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b)) = (σ^2) (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b))

Applying Ito formula.
g(t,(Subscript[B, t])) =g(0,(Subscript[B, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[B, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂b))g(s,(Subscript[B, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(b^2)))g(s,(Subscript[B, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂b))g(s,(Subscript[B, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)((r-(1/2)(σ^2))(e^((r-(1/2)(σ^2))s+σ (Subscript[B, s])))+0+(1/2)(1^2)(σ^2) (e^((r-(1/2)(σ^2))s+σ (Subscript[B, s]))))ds+(∫_0^t)1*σ (e^((r-(1/2)(σ^2))s+σ (Subscript[B, s])))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)r (e^((r-(1/2)(σ^2))s+σ (Subscript[B, s])))ds+(∫_0^t)σ (e^((r-(1/2)(σ^2))s+σ (Subscript[B, s])))d(Subscript[B, u])
or
(Subscript[X, t])=1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

Informal SDE notation

d(Subscript[X, t]) = d(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t]))) = (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))(r-(1/2)(σ^2)+0*σ+(1/2)1*(σ^2))dt+1*σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])
  = r (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])
or
d(Subscript[X, t]) = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t])

Convenient notation

d(Subscript[X, t]) = d(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))
  = (∂/(∂t))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+(∂/(∂b))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(b^2)))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])
  = (r-(1/2)(σ^2))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])+(1/2)(σ^2)(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt    (d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])=dt)
  = r (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])
  = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t])

Note that
(∂/(∂b))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t]))) ≡ (∂/(∂b))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ b))(Subscript[|, b=(Subscript[B, t])])    etc.

(a) Method 2

Formal integral notation

Let
(Subscript[Z, t]) = (r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])
so
(Subscript[X, t]) = (e^(Subscript[Z, t])).

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) =(e^(Subscript[Z, t])) = g(t,(Subscript[Z, t])).

First note that the (Subscript[Z, t]) has the Ito representation
(Subscript[Z, t]) = (∫_0^t)(r-(1/2)(σ^2))du+(∫_0^t)σd(Subscript[B, u])
or in informal SDE notation
d(Subscript[Z, t]) = (r-(1/2)(σ^2))dt+σd(Subscript[B, t])
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) =r-(1/2)(σ^2)
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = σ.

The integrals are well-defined as
(∫_0^t)|r-(1/2)(σ^2)|du = |r-(1/2)(σ^2)|t <∞
and
(∫_0^t)(σ^2)du = (σ^2)t < ∞.

Partial derivatives.
(∂/(∂t))g(t,z) = (∂/(∂t))(e^z) = 0
(∂/(∂z))g(t,z) = (∂/(∂z))(e^z) = (e^z)
((∂^2)/(∂(z^2)))g(t,z) = ((∂^2)/(∂(z^2)))(e^z) = (e^z)

Applying Ito formula.
g(t,(Subscript[Z, t])) =g(0,(Subscript[Z, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[Z, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂z))g(s,(Subscript[Z, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(z^2)))g(s,(Subscript[Z, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂z))g(s,(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(0+(r-(1/2)(σ^2))(e^(Subscript[Z, s]))+(1/2)(σ^2)(e^(Subscript[Z, s])))ds+(∫_0^t)σ (e^(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)r (e^(Subscript[Z, s]))ds+(∫_0^t)σ (e^(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
or
(Subscript[X, t])=1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

Convenient notation

d(Subscript[X, t]) = d(e^(Subscript[Z, t]))
  = (∂/(∂t))(e^(Subscript[Z, t]))dt+(∂/(∂z))(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])+(1/2)((∂^(2^□))/(∂(z^2)))(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])d(Subscript[Z, t])
  = 0+(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])d(Subscript[Z, t])
  = (e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σd(Subscript[B, t]))+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σd(Subscript[B, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σd(Subscript[B, t]))
  = (e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σd(Subscript[B, t]))+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))(σ^2)dt    (d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])=dt and the other terms vanish)
  = r (e^(Subscript[Z, t]))dt+σ (e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[B, t])
  = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t])

Note that
(∂/(∂z))(e^(Subscript[Z, t])) ≡ (∂/(∂z))(e^(Subscript[Z, t]))(Subscript[|, z=(Subscript[Z, t])])    etc.

(b)

Clear[x0,r,σ,TT,n,dt,t,xt,xtHat,dbt];
x0=x0Hat=1;r=1/25;σ=1/2;TT=3; (* parameters *)
n=1000; dt=TT/n; (* simulation parameters *)

t=Table[i dt,{i,0,n}]; (* time *)

xt=Table[x0,{n+1}]; (* container for simulated (Subscript[X, t]) *)
xtHat=Table[x0,{n+1}]; (* container for simulated (Subscript[(OverHat[X]), t]) *)
dbt=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],n]; (* generate simulated (Subscript[B, Δt]) RVs *)

For[j=1,j≤n,j++,
xt[[j+1]]=xt[[j]]*Exp[(r-(σ^2)/2)dt+σ dbt[[j]]];
xtHat[[j+1]]=xtHat[[j]](1+r dt+σ dbt[[j]])
]; (* generate paths *)
ListLinePlot[Transpose[{t,xt-xtHat}],AxesLabel->{"t","(Subscript[X, t])-(Subscript[(OverHat[X]), t])"},PlotLabel->"Difference between exact and Euler scheme"]

(c) Method 1

Formal integral notation

Find Ito representation of
(Subscript[Y, t]) = ln(t+(Subscript[X, t])) = g(t,(Subscript[X, t])).

Note that
(Subscript[X, t]) = (e^(Subscript[Y, t]))-t.

From (a) we have the Ito representation
(Subscript[X, t]) = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, u])du+(∫_0^t)σ (Subscript[X, u])d(Subscript[B, u]).
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = r (Subscript[X, t])
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = σ (Subscript[X, t]).

Partial derivatives.
(∂/(∂t))g(t,x) = (∂/(∂t))ln(t+2x) = (1/(t+x)),
(∂/(∂x))g(t,x) = (∂/(∂x))ln(t+2x) = (1/(t+x)),
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = ((∂^2)/(∂(x^2)))ln(t+2x) = -(1/(((t+x))^2)).

Applying Ito formula.
We have
ln(t+(Subscript[X, t])) = g(t,(Subscript[X, t])) = g(0,(Subscript[X, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[X, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[X, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(s,(Subscript[X, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[X, s]))d(Subscript[B, s])
  = (Subscript[X, 0]^2)+(∫_0^t)((1/(s+(Subscript[X, s])))+r (Subscript[X, s])(1/(s+(Subscript[X, s])))-(1/2)(σ^2)(Subscript[X, s]^2)(1/(((s+(Subscript[X, s])))^2)))ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])(1/(s+(Subscript[X, s])))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(1+r (Subscript[X, s])-(1/2)(σ^2)((Subscript[X, s]^2)/(s+(Subscript[X, s]))))(1/(s+(Subscript[X, s])))ds+(∫_0^t)σ ((Subscript[X, s])/(s+(Subscript[X, s])))d(Subscript[B, s])
which in terms of (Subscript[Y, t]) becomes
(Subscript[Y, t]) = 1+(∫_0^t)(1+r ((e^(Subscript[Y, s]))-s)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, s]))-s))^2)/(s+(e^(Subscript[Y, s]))-s)))(1/(s+(e^(Subscript[Y, s]))-s))ds+(∫_0^t)σ (((e^(Subscript[Y, s]))-s)/(s+(e^(Subscript[Y, s]))-s))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(1+r ((e^(Subscript[Y, s]))-s)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, s]))-s))^2)/(e^(Subscript[Y, s]))))(1/(e^(Subscript[Y, s])))ds+(∫_0^t)σ (((e^(Subscript[Y, s]))-s)/(e^(Subscript[Y, s])))d(Subscript[B, s]).

Informal SDE notation

Using Ito's formula we have
dln(t+(Subscript[X, t])) = ((∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))+(Subscript[a, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))+(1/2)(Subscript[b, t]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t])))dt+(Subscript[b, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))
  = ((1/(t+(Subscript[X, t])))+r (Subscript[X, t])(1/(t+(Subscript[X, t])))-(1/2)(σ^2)(Subscript[X, t]^2)(1/(((t+(Subscript[X, t])))^2)))dt+σ (Subscript[X, t])(1/(t+(Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
  = 1+(1+r (Subscript[X, t])-(1/2)(σ^2)((Subscript[X, t]^2)/(t+(Subscript[X, t]))))(1/(t+(Subscript[X, t])))dt+σ ((Subscript[X, t])/(t+(Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
which in terms of (Subscript[Y, t]) becomes
d(Subscript[Y, t]) = (1+r ((e^(Subscript[Y, t]))-t)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, t]))-t))^2)/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t)))(1/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t))dt+σ (((e^(Subscript[Y, t]))-t)/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t))d(Subscript[B, t])
  = (1+r ((e^(Subscript[Y, t]))-t)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, t]))-t))^2)/(e^(Subscript[Y, t]))))(1/(e^(Subscript[Y, t])))dt+σ (((e^(Subscript[Y, t]))-t)/(e^(Subscript[Y, t])))d(Subscript[B, t]).

Convenient notation

See Page 41-42 Ch 11 Supporting Notes .

In SDE form
d(Subscript[X, t]) = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t]).

So
d(Subscript[Y, t]) = dln(t+(Subscript[X, t])) = (∂/(∂t))ln(t+(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))ln(t+(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))ln(t+(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
  = (1/(t+(Subscript[X, t])))dt+(1/(t+(Subscript[X, t])))d(Subscript[X, t])-(1/2)(1/(((t+(Subscript[X, t])))^2))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
  = (1/(t+(Subscript[X, t])))dt+(1/(t+(Subscript[X, t])))(r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t]))-(1/2)(1/(((t+(Subscript[X, t])))^2))(r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t]))(r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t]))
  = (1/(t+(Subscript[X, t])))dt+(1/(t+(Subscript[X, t])))(r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t]))-(1/2)(1/(((t+(Subscript[X, t])))^2))(σ^2)(Subscript[X, t]^2)dt    (using multiplicatin rule)
  = (1+r (Subscript[X, t])-(1/2)(σ^2)((Subscript[X, t]^2)/(t+(Subscript[X, t]))))(1/(t+(Subscript[X, t])))dt+σ ((Subscript[X, t])/(t+(Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
  = (1+r ((e^(Subscript[Y, t]))-t)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, t]))-t))^2)/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t)))(1/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t))dt+σ (((e^(Subscript[Y, t]))-t)/(t+(e^(Subscript[Y, t]))-t))d(Subscript[B, t])
  = (1+r ((e^(Subscript[Y, t]))-t)-(1/2)(σ^2)(((((e^(Subscript[Y, t]))-t))^2)/(e^(Subscript[Y, t]))))(1/(e^(Subscript[Y, t])))dt+σ (((e^(Subscript[Y, t]))-t)/(e^(Subscript[Y, t])))d(Subscript[B, t]).

(c) Method 2

Formal integral notation

Find Ito representation of
(Subscript[Y, t]) = t+(Subscript[X, t]^2) = t+(e^(2(r-(1/2)(σ^2))t+2σ (Subscript[B, t]))) = t+(e^((2r-(σ^2))t+2σ (Subscript[B, t]))) = g(t,(Subscript[B, t])).

We have the Ito representation
(Subscript[B, t]) = 0+(∫_0^t)0du+(∫_0^t)1d(Subscript[B, u]).
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = 0
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = 1.

We know the  integrals are well defined as the solution of the
stochastic integral equation  (SIE) is our GBM.

Partial derivatives.
(∂/(∂t))g(t,b) = (∂/(∂t))(t+(e^((2r-(σ^2))t+2σ b))) = 1+(2r-(σ^2))(e^((2r-(σ^2))t+2σ b))
(∂/(∂b))g(t,b) = (∂/(∂b))(t+(e^((2r-(σ^2))t+2σ b))) = 2σ (e^((2r-(σ^2))t+2σ b))
((∂^2)/(∂(b^2)))g(t,b) = ((∂^2)/(∂(b^2)))(t+(e^((2r-(σ^2))t+2σ b))) = 4(σ^2)(e^((2r-(σ^2))t+2σ b))

Applying Ito formula.
We have
g(t,(Subscript[B, t])) =g(0,(Subscript[B, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[B, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂b))g(s,(Subscript[B, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(b^2)))g(s,(Subscript[B, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂b))g(s,(Subscript[B, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(1+(2r-(σ^2)+0+(1/2)(1^2)4(σ^2))(e^((2r-(σ^2))s+2σ (Subscript[B, s]))))ds+(∫_0^t)1*2σ (e^((2r-(σ^2))s+2σ (Subscript[B, s])))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(1+(2r+(σ^2))(e^((2r-(σ^2))s+2σ (Subscript[B, s]))))ds+(∫_0^t)2σ (e^((2r-(σ^2))s+2σ (Subscript[B, s])))d(Subscript[B, s])
or
t+(Subscript[X, t]^2) = 1+(∫_0^t)(1+(2r+(σ^2))(Subscript[X, s]^2))ds+(∫_0^t)2σ (Subscript[X, s]^2)d(Subscript[B, s])
which in terms of (Subscript[Y, t]) becomes
(Subscript[Y, t]) = 1+(∫_0^t)(1+(2r+(σ^2))((Subscript[Y, s])-s))ds+(∫_0^t)2σ ((Subscript[Y, s])-s)d(Subscript[B, s]).

(d)

IMPORTANT.
We want to find
f(y,t|x,s) = (∂/(∂y))P((Subscript[Y, t])<y|(Subscript[Y, s])=x).

Notice the SP involved is (Subscript[Y, t]), so we need drift and diffusion functions
in terms of that variable.

This is why it important to write Ito represetation in terms of (Subscript[Y, t]) in (c) above.

Leaving in terms of (Subscript[X, t]) will lead to misidentifcation of drift and diffusion functions.

From (c) we identify drift function
a(s,x) = (1+r ((e^x)-s)-(1/2)(σ^2)(((((e^x)-s))^2)/(e^x)))(1/(e^x))
and diffusion function
b(s,x) =  (((e^x)-s)/(e^x)).

So the Kolmogorov backwards equation is
(∂/(∂s))f(y,t|x,s)+(1+r ((e^x)-s)-(1/2)(σ^2)(((((e^x)-s))^2)/(e^x)))(1/(e^x))(∂/(∂x))f(y,t|x,s)+(1/2)((((((e^x)-s)/(e^x))))^2)((∂^2)/(∂(x^2)))f(y,t|x,s) = 0
s.t.
f(s,y|x,s)=δ(y-x).

(e)

Using Ito formula

Let
(Subscript[Z, t])=(∫_0^t)(1/(T-u))d(Subscript[B, u])
so that
(Subscript[X, t]) = α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]).

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) =α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]) = g(t,(Subscript[Z, t])).

Note that (Subscript[Z, t]) has the Ito representation with drift function
(Subscript[a, t])=0
and diffusion function
(Subscript[b, t])=(1/(T-t)).

The integral is well-defined as
(∫_0^t)((((1/(T-u))))^2)du = (t/(T (T-t))) < ∞.

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) = α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]) = g(t,(Subscript[Z, t])).

Partial derivatives.
(∂/(∂t))g(t,z) = (∂/(∂t))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)z) = -α(1/T)+β(1/T)-z
(∂/(∂z))g(t,z) = (∂/(∂z))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)z) = T-t
((∂^2)/(∂(z^2)))g(t,z) = ((∂^2)/(∂(z^2)))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)z) = 0

Applying Ito formula.
We have
g(t,(Subscript[Z, t])) =g(0,(Subscript[Z, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂u))g(u,(Subscript[Z, u]))+(Subscript[a, u])(∂/(∂z))g(u,(Subscript[Z, u]))+(1/2)(Subscript[b, u]^2)((∂^2)/(∂(z^2)))g(u,(Subscript[Z, u])))du+(∫_0^t)(Subscript[b, u])(∂/(∂z))g(u,(Subscript[Z, u]))d(Subscript[B, u])
  = α+(∫_0^t)(-α(1/T)+β(1/T)-(Subscript[Z, u])+0+0)du+(∫_0^t)(1/(T-u))(T-u)d(Subscript[B, u])
  = α+(∫_0^t)(-α(1/T)+β(1/T)-(Subscript[Z, u]))du+(∫_0^t)d(Subscript[B, u])
  = α+(∫_0^t)((T-u)/(T-u))(-α(1/T)+β(1/T)-(Subscript[Z, u]))du+(Subscript[B, t])
  = α+(∫_0^t)(1/(T-u))(-α((T-u)/T)+β((T-u)/T)-(T-u)(Subscript[Z, u]))du+(Subscript[B, t])
  = α+(∫_0^t)(1/(T-u))(β-α((T-u)/T)-β(u/T)-(T-u)(Subscript[Z, u]))du+(Subscript[B, t])
or
(Subscript[X, t])  = α+(∫_0^t)((β-(Subscript[X, u]))/(T-u))du+(Subscript[B, t]).

Convenient notation

Taking the differential we have
d(Subscript[X, t]) = d(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]))
  = (∂/(∂t))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]))dt+(∂/(∂z))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(z^2)))(α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])d(Subscript[Z, t])
  = (-α(1/T)+β (1/T)-(Subscript[Z, t]))dt+(T-t)d(Subscript[Z, t])+0
  = (-α(1/T)+β (1/T)-(Subscript[Z, t]))dt+(T-t)(1/(T-t))d(Subscript[B, t])
  = ((T-t)/(T-t))(-α(1/T)+β (1/T)-(Subscript[Z, t]))dt+d(Subscript[B, t])
  = (1/(T-t))(-α((T-t)/T)+β ((T-t)/T)-(T-t)(Subscript[Z, t]))dt+d(Subscript[B, t])
  = (1/(T-t))(β-α((T-t)/T)-β (t/T)-(T-t)(Subscript[Z, t]))dt+d(Subscript[B, t])
  = ((β-(Subscript[X, t]))/(T-t))dt+d(Subscript[B, t]).