Stoch Proc - Lab/Tutorial 11 class work

Scott Alexander

Question 1

Part (a)

Note that
(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u]) =(∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[B, u]).

Show
𝔼[(∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])] = 𝔼[(∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])] = ... = 0
and
var((∫_s^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])) = var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])) = (((e^(2t θ))-(e^(2t s)))/(2θ)).

Note that
var((∫_0^t)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])-(∫_0^s)(e^(θ u))d(Subscript[B, u])) =

Part (b)

We have
(Subscript[Y, t]) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t))+(e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]) = (e^(-(t-s)))(Subscript[Y, s])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]).

Note that
(Subscript[Y, t]) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t))+(e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]) = (Subscript[Y, 0])(e^(-t))+(e^(-t))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])
  = (e^(-t))(e^s)((Subscript[Y, 0])(e^(-s))+(e^(-s))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])
  = (e^(-(t-s)))(Subscript[Y, s])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]).

The transition distribution function
F(y,t|x,s) = P((Subscript[Y, t])<y|(Subscript[Y, s])=x)
  = P((e^(-(t-s)))(Subscript[Y, s])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])<y|(Subscript[Y, s])=x)
  = P((e^(-(t-s)))x+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])<y|(Subscript[Y, s])=x)
  = P((e^(-(t-s)))x+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])<y)
  = P((e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])<y-(e^(-(t-s)))x).

We know
(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]) ~ N(0,(((e^(2t))-(e^(2s)))/2))
so
(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])~ N(0,(e^(-2t))(((e^(2t))-(e^(2s)))/2)=((1-(e^(-2(t-s))))/2)).

So we have
F(y,t|x,s) = P((e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u])<y-(e^(-(t-s)))x)
 = (∫_(-∞)^(-(e^(-(t-s)))x))(1/(Sqrt[2π((1-(e^(-2(t-s))))/2)]))(e^(-((u^2)/(2((1-(e^(-2(t-s))))/2)))))du
so that
f(y,t|x,s) = (∂/(∂y))F(y,t|x,s)
  = (∂/(∂y))(∫_(-∞)^(-(e^(-(t-s)))x))(1/(Sqrt[2π((1-(e^(-2(t-s))))/2)]))(e^(-((u^2)/(2((1-(e^(-2(t-s))))/2)))))du
  = ...

Part (c)

cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Y, s])) = cov((Subscript[Y, 0])(e^(-t))+(e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(Subscript[Y, 0])(e^(-s))+(e^(-s))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))
  = cov((e^(-t))(∫_0^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(e^(-s))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))
  = cov((e^(-t))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u])+(e^(-t))(∫_s^t)(e^u)d(Subscript[B, u]),(e^(-s))(∫_0^s)(e^u)d(Subscript[B, u]))
  = ...

Question 2

(a) Method 1

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) = (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t]))) = g(t,(Subscript[B, t])).

The Ito process we use is
(Subscript[B, t]) = 0+(∫_0^t)0du+(∫_0^t)1d(Subscript[B, u])
with
(Subscript[a, t]) = 0
and
(Subscript[b, t]) = 1.

We have
(∂/(∂t))g(t,x) = (∂/(∂t))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = (r-(1/2)(σ^2))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = (r-(1/2)(σ^2))g(t,x),
(∂/(∂x))g(t,x) = (∂/(∂x))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = σ g(t,x),
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = ((∂^2)/(∂(x^2)))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = (σ^2) (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ x)) = (σ^2) g(t,x).

g(t,(Subscript[B, t])) = g(0,(Subscript[B, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[B, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[B, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(s,(Subscript[B, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[B, s]))d(Subscript[B, s])

  = 1+(∫_0^t)(r-(1/2)(σ^2)+0+(1/2)(1^2)(σ^2))g(s,(Subscript[B, s]))ds+(∫_0^t)1σ g(s,(Subscript[B, s]))d(Subscript[B, s])
which is
(Subscript[X, t])  = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

ANOTHER WAY TO REMEMBER ITO FORMULA
d(Subscript[X, t]) = d(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))
  = (∂/(∂t))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+(∂/(∂x))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])
  = (r-(1/2)(σ^2))(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])+(1/2)((σ )^2)(e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt    (multiplication rule)
  = r (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))dt+σ (e^((r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])))d(Subscript[B, t])
  = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t])
which is
(Subscript[X, t])  = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

(a) Method 2

Let
(Subscript[Z, t]) = (r-(1/2)(σ^2))t+σ (Subscript[B, t])
so
(Subscript[X, t]) = (e^(Subscript[Z, t])).

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) =(e^(Subscript[Z, t])) = g(t,(Subscript[Z, t])).

We have the Ito process
(Subscript[Z, t]) = 0+(∫_0^t)(r-(1/2)(σ^2))ds+(∫_0^t)σd(Subscript[B, s])
with
(Subscript[a, t]) = r-(1/2)(σ^2)
and
(Subscript[b, t]) = σ.

The derivatives
(∂/(∂t))g(t,(Subscript[Z, t])) = (∂/(∂t))(e^(Subscript[Z, t])) = 0,
(∂/(∂z))g(t,(Subscript[Z, t])) = (∂/(∂z))(e^(Subscript[Z, t])) = (e^(Subscript[Z, t])),
((∂^2)/(∂(z^2)))g(t,(Subscript[Z, t])) = ((∂^2)/(∂(z^2)))(e^(Subscript[Z, t])) = (e^(Subscript[Z, t])).

Then by Ito
g(t,(Subscript[Z, t])) = g(0,(Subscript[Z, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[Z, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂z))g(s,(Subscript[Z, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(z^2)))g(s,(Subscript[Z, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂z))g(s,(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)(0+r-(1/2)(σ^2)+(1/2)(σ^2))g(s,(Subscript[Z, s]))ds+(∫_0^t)σ g(s,(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
  = 1+(∫_0^t)r g(s,(Subscript[Z, s]))ds+(∫_0^t)σ g(s,(Subscript[Z, s]))d(Subscript[B, s])
which is
(Subscript[X, t]) = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

ANOTHER WAY TO REMEMBER ITO FORMULA
d(Subscript[X, t]) = d(e^(Subscript[Z, t]))
  = (∂/(∂t))(e^(Subscript[Z, t]))dt+(∂/(∂z))(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(z^2)))(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])d(Subscript[Z, t])
  = 0dt+(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[Z, t])d(Subscript[Z, t])
  = (e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σ d(Subscript[B, t]))+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σ d(Subscript[B, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σ d(Subscript[B, t]))
  = (e^(Subscript[Z, t]))((r-(1/2)(σ^2))dt+σ d(Subscript[B, t]))+(1/2)(e^(Subscript[Z, t]))(σ^2)dt    (multiplication rule)
  = r (e^(Subscript[Z, t]))dt+σ (e^(Subscript[Z, t]))d(Subscript[B, t])
  = r (Subscript[X, t])dt+σ (Subscript[X, t])d(Subscript[B, t])
which is
(Subscript[X, t]) = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s]).

(b)

r=1/25; σ=1/2;TT=3;
steps=1000; dt=TT/steps;
rv=RandomReal[NormalDistribution[0,(Sqrt[dt])],steps]; 
t=Table[i dt,{i,0,steps}];
xt1=Table[1,{steps+1}];
xt2=xt1;
For[j=1,j≤steps,j++,
xt1[[j+1]]=xt1[[j]]*Exp[(r-(σ^2)/2)dt+σ rv[[j]]];
xt2[[j+1]]=xt2[[j]](1+r dt+σ rv[[j]])
];
ListPlot[Transpose[{t,xt1-xt2}],PlotRange->All,
Joined->True,AxesLabel->{"t","(Subscript[X, t])-(Subscript[(OverHat[X]), t])"},PlotLabel->"Simulation Error"]

(c)

Find Ito representation of
(Subscript[Y, t]) = ln(t+(Subscript[X, t])) = g(t,(Subscript[X, t])).

We have
(Subscript[X, t])  = 1+(∫_0^t)r (Subscript[X, s])ds+(∫_0^t)σ (Subscript[X, s])d(Subscript[B, s])
with
(Subscript[a, t]) = r (Subscript[X, t])
and
(Subscript[b, t]) = σ (Subscript[X, t]).

At end write in terms of
(Subscript[X, t]) = (e^(Subscript[Y, t]))-t.

(d)

(e)

Let
(Subscript[Z, t])=(∫_0^t)(1/(T-u))d(Subscript[B, u])
so that
(Subscript[X, t]) = α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]).

Find Ito representation of
(Subscript[X, t]) =α((T-t)/T)+β (t/T)+(T-t)(Subscript[Z, t]) = g(t,(Subscript[Z, t])).