Chapter 11

Supporting notes

Scott Alexander

Page 6-7

"Little o" notation.

Let h>0.

The statement
f(h) ∈ o(g(h))
means that for any ϵ>0 there exists an (Subscript[h, ϵ])>0 such that
|f(h)| ≤ ϵ g(h)    for    h<(Subscript[h, ϵ]).

This means that    (lim_(h->0))((f(h))/(g(h)))=0.

In particular, the statement
f(h) ∈ o(h)
means that for any ϵ>0 there exists an (Subscript[h, ϵ])>0 such that
|f(h)| ≤ ϵ h   for    h<(Subscript[h, ϵ]).

This means that    (lim_(h->0))((f(h))/h)=0.

Note also that
|f(h)| ≤ ϵ h   for    h<(Subscript[h, ϵ])
is equivalent to
((|f(h)|)/h) = |((f(h))/h)| ≤ ϵ    for    h<(Subscript[h, ϵ])
so
((f(h))/h) ∈ o(1).


So Definition 1 says
(lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[X, s+h])-(Subscript[X, s])|(Subscript[X, s])=x])/h) = (lim_(h->0))(((a(s,x) h)/h)+((o(h))/h)) = a(s,x)+(lim_(h->0))((o(h))/h) = a(s,x)+(lim_(h->0)) o(1) = a(s,x)
and
(lim_(h->0))((𝔼[((((Subscript[X, s+h])-(Subscript[X, s])))^2)|(Subscript[X, s])=x])/h) = (lim_(h->0))((((b^2)(s,x) h)/h)+((o(h))/h)) = (b^2)(s,x)+(lim_(h->0))((o(h))/h) = (b^2)(s,x)+(lim_(h->0)) o(1) = (b^2)(s,x).

Page 8

Let W be a Brownian motion with
𝔼[(Subscript[W, t])] = m t
and
cov((Subscript[W, t]),(Subscript[W, s])) = (σ^2)min(t,s).

𝔼[(Subscript[W, t]^2)] = var((Subscript[W, t])) + (((𝔼[(Subscript[W, t])]))^2)
  = (σ^2)t + (m^2)(t^2).

a(s,x) = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s])|(Subscript[W, s])=x])/h) = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s])])/h)    (independence of increments)
  = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h])] - 𝔼[(Subscript[W, s])])/h) = (lim_(h->0))((m(s+h) - m s)/h)
  = (lim_(h->0))((m h)/h) = (lim_(h->0)) m
  = m.

(b^2)(s,x) = (lim_(h->0))((𝔼[((((Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s])))^2)|(Subscript[W, s])=x])/h) = (lim_(h->0))((𝔼[((((Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s])))^2)])/h)    (independence of increments)
  = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]^2)] - 2𝔼[(Subscript[W, s+h])(Subscript[W, s])] + 𝔼[(Subscript[W, s]^2)])/h) = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]^2)] - 2𝔼[((Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s]) + (Subscript[W, s]))(Subscript[W, s])] + 𝔼[(Subscript[W, s]^2)])/h)
  = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]^2)] - 2𝔼[((Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s]))(Subscript[W, s])] - 2𝔼[(Subscript[W, s]^2)] + 𝔼[(Subscript[W, s]^2)])/h)
  = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[W, s+h]^2)] - 2𝔼[(Subscript[W, s+h]) - (Subscript[W, s])]𝔼[(Subscript[W, s])] - 𝔼[(Subscript[W, s]^2)])/h)    (independence of increments)
  = (lim_(h->0))((((σ^2)(s+h)+(m^2)(((s+h))^2)) - 2m h m s - ((σ^2)s+(m^2)(s^2)))/h)
  = (lim_(h->0))(((h^2) (m^2) + h (σ^2))/h) = (lim_(h->0))(h (m^2) + (σ^2))
  = (σ^2)
so
b(s,x) = σ.

Page 10-11

Let B be a standard Brownian motion.

We are given that
(Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s]) = a(s,(Subscript[X, s]))h + b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) + o(h).

First Moment

𝔼[(Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s])|(Subscript[X, s])] = 𝔼[a(s,(Subscript[X, s])) h + b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) + o(h)|(Subscript[X, s])]
  = a(s,(Subscript[X, s])) h + b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))|(Subscript[X, s])]+𝔼[o(h)|(Subscript[X, s])]    (dependence on (Subscript[X, s]))
  = a(s,(Subscript[X, s])) h + b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[(Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])] + 𝔼[o(h)]    (independence from (Subscript[X, s]))
  = a(s,(Subscript[X, s]))h + 𝔼[o(h)]
so
(lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s])|(Subscript[X, s])])/h) = (lim_(h->0))(a(s,(Subscript[X, s])) + ((𝔼[o(h)])/h))
  = a(s,(Subscript[X, s])) + 𝔼[(lim_(h->0)) ((o(h))/h)]    (assuming limit and expectation operations can be interchanged)
  = a(s,(Subscript[X, s])).

Second Moment

First note that
((((Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s])))^2) = (((a(s,(Subscript[X, s]))h + b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) + o(h)))^2)
  = (a^2)(s,(Subscript[X, s]))(h^2)+(b^2)(s,(Subscript[X, s]))((((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])))^2)+(((o(h)))^2)
      +2a(s,(Subscript[X, s]))h b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))+2a(s,(Subscript[X, s]))h o(h)+2b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) o(h)
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s]))((((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])))^2)+2a(s,(Subscript[X, s]))h b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))+2b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) o(h)+o(h)
as
(a^2)(s,(Subscript[X, s]))(h^2),(((o(h)))^2),2a(s,(Subscript[X, s]))h o(h)∈o(h).

So
𝔼[((((Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s])))^2)|(Subscript[X, s])] = 𝔼[(b^2)(s,(Subscript[X, s]))((((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])))^2)+2a(s,(Subscript[X, s]))h b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))+2b(s,(Subscript[X, s]))((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) o(h)+o(h)|(Subscript[X, s])]
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])))^2)|(Subscript[X, s])]+2a(s,(Subscript[X, s]))h b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))|(Subscript[X, s])]+2b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) o(h)|(Subscript[X, s])]+𝔼[o(h)|(Subscript[X, s])]
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])))^2)]+2a(s,(Subscript[X, s]))h b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))]+2b(s,(Subscript[X, s]))𝔼[((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s])) ]𝔼[o(h)]+𝔼[o(h)]    (independence)
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s]))h+𝔼[o(h)] 
so
(lim_(h->0))((𝔼[((((Subscript[X, s+h]) - (Subscript[X, s])))^2)|(Subscript[X, s])])/h) = (lim_(h->0))((b^2)(s,(Subscript[X, s])) + ((𝔼[o(h)])/h))
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s])) + 𝔼[(lim_(h->0)) ((o(h))/h)]    (asuming limt and expectation operations can be interchanged)
  = (b^2)(s,(Subscript[X, s])).

Little-o relationships

Note that for any ϵ>0
|(h^2)| ≤ ϵ h
when     0<h≤ϵ.
So    (h^2)∈o(h)    ⟹    a(s,(Subscript[X, s]))(h^2)∈o(h).


Let    f(h)∈o(h)
so that for any ϵ>0 there exists an (Subscript[h, ϵ])>0 such that
|f(h)| ≤ ϵ h   for    h<(Subscript[h, ϵ]).
Then
((|f(h)|)^2) ≤ (ϵ^2) (h^2)   for    h<(Subscript[h, ϵ])
which implies
|(f^2)(h)| ≤ c h
where    c=(ϵ^2)    and    h<(Subscript[h, ϵ])<1.
So    (f^2)(h)∈o(h).
That is    f(h)∈o(h)    ⟹    (f^2)(h)∈o(h).


Let    f(h)∈o(h)
so that for any ϵ>0 there exists an (Subscript[h, ϵ])>0 such that
|f(h)| ≤ ϵ h   for    h<(Subscript[h, ϵ]).
Then
|h f(h)| ≤ ϵ h   for    h<(Subscript[h, ϵ])<1
so    h f(h)∈o(h).
That is    f(h)∈o(h)    ⟹    h f(h)∈o(h).

Page 13-14

Problem 1.

See page 8 above.

Problem 2.

(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^(m t + σ (Subscript[B, t]))).
Note that
(Subscript[S, s+h]) = (Subscript[S, 0])(e^(m(s+h) + σ (Subscript[B, s+h]))) = (Subscript[S, 0])(e^(m(s+h) + σ (Subscript[B, s+h])+σ (Subscript[B, s])-σ (Subscript[B, s]))) = (Subscript[S, 0])(e^(m s + σ (Subscript[B, s])))(e^(m h + σ((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))))
  = (Subscript[S, s])(e^(m h + σ((Subscript[B, s+h]) -(Subscript[B, s])))) .

First moment
𝔼[(Subscript[S, s+h])-(Subscript[S, s])|(Subscript[S, s])=x] = 𝔼[(Subscript[S, s])(e^(m h+σ((Subscript[B, s+h])-(Subscript[B, s]))))-(Subscript[S, s])|(Subscript[S, s])=x]
  = x 𝔼[(e^(m h+σ((Subscript[B, s+h])-(Subscript[B, s])))) - 1]    (independence of increments)
  = x ((e^(m h + (1/2)(σ^2)h)) - 1)    (moment generating function of 𝒩(a,(b^2)) random variable is (e^(u a + (u^2)(b^2)/2)))
  = x (1 + m h + (1/2)(σ^2)h + o(h) - 1)     (first order Taylor expansion)
  = x (m + (1/2)(σ^2) )h + o(h)
so
a(s,x) = (lim_(h->0))((𝔼[(Subscript[S, s+h]) - (Subscript[S, s])|(Subscript[S, s])=S])/h) = (lim_(h->0)) x (m + (1/2)(σ^2)  ) + (lim_(h->0))((o(h))/h)
  = x (m + (1/2)(σ^2)) .

Second moment
𝔼[((((Subscript[S, s+h])-(Subscript[S, s])))^2)|(Subscript[S, s])=x] = 𝔼[((((Subscript[S, s])(e^(m h + σ((Subscript[B, s+h])-(Subscript[B, s])))) - (Subscript[S, s])))^2)|(Subscript[S, s])=x]
  = (x^2)𝔼[(e^(2m h + 2σ((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))))-2(e^(m h + σ((Subscript[B, s+h])-(Subscript[B, s]))))+1]    (independence of increments)
  = (x^2)(𝔼[(e^(2m h + 2σ((Subscript[B, s+h]) - (Subscript[B, s]))))] - 2𝔼[(e^(m h + σ((Subscript[B, s+h])-(Subscript[B, s]))))] + 1)
  = (x^2)((e^(2m h + 2(σ^2)h)) - 2(e^(m h + (1/2)(σ^2)h)) + 1)    (moment generating function of 𝒩(a,(b^2)) random variable is (e^(u a + (1/2)(u^2)(b^2))))
  = (x^2)(1 + 2m h + 2(σ^2)h + o(h) - 2(1 + m h + (1/2)(σ^2)h + o(h)) + 1)    (first order Taylor expansion)
  = (x^2)(σ^2)h  + o(h)
so
(b^2)(s,x) = (lim_(h->0))((𝔼[((((Subscript[S, s+h]) - (Subscript[S, s])))^2)|(Subscript[S, s])=x])/h) = (lim_(h->0)) (x^2)(σ^2)  + (lim_(h->0))((o(h))/h)
  = (x^2)(σ^2)
or
b(s,x) = x σ.

Page 17-19

Example 1

P((Subscript[B, t])<y|(Subscript[B, s])=x) =P((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s]) + (Subscript[B, s])<y|(Subscript[B, s])=x)
  = P((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s])<y - x|(Subscript[B, s])=x)
  = P((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s])<y - x).    (independence of increments)

The random variable ((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]))~𝒩(0,t-s) 
so
P((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s])<y - x) = (∫_(-∞)^(y-x))(1/(Sqrt[2π(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2(t-s)))))du.

Let
F(t,y|s,x) := P((Subscript[B, t])<y|(Subscript[B, s])=x) = P((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s])<y - x)    (from above)
 = (∫_(-∞)^(y-x))(1/(Sqrt[2π(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2(t-s)))))du.

Then
f(t,y|s,x) = (∂/(∂y))F(t,y|s,x) = (∂/(∂y))(∫_(-∞)^(y-x))(1/(Sqrt[2π(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2(t-s)))))du
  = (1/(Sqrt[2π(t-s)]))(e^(-((((y-x))^2)/(2(t-s)))))(∂/(∂y))(y-x)
  = (1/(Sqrt[2π(t-s)]))(e^(-((((y-x))^2)/(2(t-s))))).

Example 2

(Subscript[X, t]) = (Subscript[X, 0])(e^(m t + σ (Subscript[B, t]))) = (Subscript[X, s])(e^(m(t-s) + σ((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s])))).

P((Subscript[X, t])<y|(Subscript[X, s])=x) = P((Subscript[X, s])(e^(m(t-s) + σ((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s]))))<y|(Subscript[X, s])=x)
  = P(x (e^(m(t-s) + σ((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]))))<y)    (independence of increments, (Subscript[X, s])=x)
  = P(σ((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s])) < ln(y/x) - m(t-s)).

The random variable σ((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]))~𝒩(0,(σ^2)(t-s)) 
so
P(σ((Subscript[B, t]) - (Subscript[B, s])) < ln(y/x) - m(t-s)) = (∫_(-∞)^(ln(y/x) - m(t-s)))(1/(Sqrt[2π (σ^2)(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2 (σ^2)(t-s)))))du.

Let
F(t,y|s,x) := P((Subscript[X, t])<y|(Subscript[X, s])=x) = P(σ((Subscript[B, t])- (Subscript[B, s])) < ln(y/x) - m(t-s))    (from above)
  = (∫_(-∞)^(ln(y/x) - m(t-s)))(1/(Sqrt[2π (σ^2)(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2 (σ^2)(t-s)))))du.

Then
f(t,y|s,x) = (∂/(∂y))F(t,y|s,x) = (∂/(∂y))(∫_(-∞)^(ln(y/x) - m(t-s)))(1/(Sqrt[2π (σ^2)(t-s)]))(e^(-((u^2)/(2 (σ^2)(t-s)))))du
  = (1/(Sqrt[2π (σ^2)(t-s)]))(e^(-((((ln(y/x) - m(t-s)))^2)/(2 (σ^2)(t-s)))))(∂/(∂y))(ln(y/x) - m(t-s))
  = (1/(y(Sqrt[2π (σ^2)(t-s)])))(e^(-((((ln(y/x) - m(t-s)))^2)/(2 (σ^2)(t-s))))).

Page 24-25

We have
V(x,s) = (e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x] = (e^(-r(T-s)))𝔼[V((Subscript[S, T]),T)|(Subscript[S, s])=x]
or
((V(x,s))/(e^( r s))) = 𝔼[((V((Subscript[S, T]),T))/(e^( r T)))|(Subscript[S, s])=x].

More generally
V((Subscript[S, s]),s) = (e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])] = (e^(-r(T-s)))𝔼[V((Subscript[S, T]),T)|(Subscript[S, s])]
or
((V((Subscript[S, s]),s))/(e^( r s))) = 𝔼[((V((Subscript[S, T]),T))/(e^( r T)))|(Subscript[S, s])].

Page 26-29

Let
(Subscript[S, t]) = (Subscript[S, 0])(e^((r-(σ^2)/2)t+σ (Subscript[B, t])))
which has drift function
a(s,x) = r x
and diffusion function
b(s,x) = σ x.

Define the operator L as
L[G] := ((∂G)/(∂s)) + a(s,x)((∂G)/(∂x)) + (1/2)(b^2)(s,x)(((∂^2)G)/(∂(x^2)))
  = ((∂G)/(∂s)) + r x((∂G)/(∂x)) + (1/2)(σ^2)(x^2)(((∂^2)G)/(∂(x^2)))
and note that the transition density of (Subscript[S, t])
f ≡ f(y,T|x,s)
is the solution of the Kolmogorov backwards equation
L[f] = ((∂f)/(∂s)) + r x((∂f)/(∂x)) + (1/2)(σ^2)(x^2)(((∂^2)f)/(∂(x^2))) = 0.

Now consider the price of a European contract
V(x,s) = (e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x].

Applying L to V
L[V(x,s)] = L[(e^(-r(T-s)))𝔼(g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x)]
  = (∂/(∂s))((e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x]) + r x(∂/(∂x))((e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x]) + (1/2)(σ^2)(x^2)((∂^2)/(∂(x^2)))((e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x])
  = r (e^(-r(T-s)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x] + (e^(-r(T-s)))(∂/(∂s))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x] + (e^(-r(T-s)))r x (∂/(∂x))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x] + (e^(-r(T-s)))(1/2)(σ^2)(x^2)((∂^2)/(∂(x^2)))𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x]
  = r V(x,s) + (e^(-r(T-s)))L[𝔼[g((Subscript[S, T]))|(Subscript[S, s])=x]]
  = r V(x,s) + (e^(-r(T-s)))L[(∫_(-∞)^∞)g(y)f(y,T|x,s)dy]
  = r V(x,s) + (e^(-r(T-s)))(∫_(-∞)^∞)g(y)L[f(y,T|x,s)]dy    (interchange of operations can be justified with Leibniz's integral rule)
  = r V(x,s)
as
L[f(y,T|x,s)] = 0.    (see above)

So the price V satisfies
L[V(x,s)] = r V(x,s)
or
(∂/(∂s))V(x,s) + r x(∂/(∂x))V(x,s) + (1/2)(σ^2)(x^2)((∂^2)/(∂(x^2)))V(x,s) = r V(x,s)
with boundary condition
V(x,T) = g(x).

Page 32

We can use the filtration    (Subscript[((Subscript[ℱ, t])), t≥0])
to define the filtered probability space    (Ω,ℱ,(Subscript[((Subscript[ℱ, t])), t≥0]),P).

The σ-algebra ℱ is the smallest σ-algebra containing    (⋃_(t≥0))(Subscript[ℱ, t])
(see, for instance, page 163-165 Platen and Heath A Benchmark Approach to Quantitative Finance).

Note that    (Subscript[ℱ, 0])={Ω,∅}    is called the "trivial" σ-algebra (see page 13 Chapter 1 Notes).

Page 34

Note that
(Subscript[Z, n]) = (∑_(k=1)^n)(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))
  = (1/2)(∑_(k=1)^n)((Subscript[B, (Subscript[t, k])]^2)-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]^2))-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)
  = (1/2)((Subscript[B, (Subscript[t, 1])]^2)-(Subscript[B, (Subscript[t, 0])]^2)+(Subscript[B, (Subscript[t, 2])]^2)-(Subscript[B, (Subscript[t, 1])]^2)+⋯+(Subscript[B, (Subscript[t, n])]^2)-(Subscript[B, (Subscript[t, n-1])]^2))-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)
  = (1/2)((Subscript[B, (Subscript[t, n])]^2)-(Subscript[B, (Subscript[t, 0])]^2))-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)
  = (1/2)((Subscript[B, t]^2)-(Subscript[B, 0]^2))-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)
  = (1/2)(Subscript[B, t]^2)-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2).

Setting
(Subscript[ξ, k]) = (((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))/(Sqrt[t/n])) ~ N(0,1)
we have by Law of Large Numbers
(lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2) = t (lim_(n->∞))(1/n)(∑_(k=1)^n)(Subscript[ξ, k]^2) (Overscript[=, P]) t 𝔼[(Subscript[ξ, k]^2)] = t.

So
(lim_(n->∞))(Subscript[Z, n]) = (lim_(n->∞))((1/2)(Subscript[B, t]^2)-(1/2)(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2))
  = (1/2)(Subscript[B, t]^2)-(1/2)(lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)
  = (1/2)(Subscript[B, t]^2)-(1/2)t.

Page 38

Example 1

Let     g(t)=t, t≥0.

Then
𝔼[(Sqrt[(∫_0^t)(g^2)(s)ds])]  = 𝔼[(Sqrt[(∫_0^t)(s^2)ds])] = (Sqrt[(∫_0^t)(s^2)ds]) = (Sqrt[(Subscript[[(1/3)(s^3)], 0]^t) ])= (Sqrt[((t^3)/3) - 0]) = (Sqrt[((t^3)/3)])<∞.

In this case    𝔼[(∫_0^t)s d(Subscript[B, s])]=0.

Example 2

Let     g(t)=(1/t), t>0.

Then
𝔼[(Sqrt[(∫_0^t)(g^2)(s)ds])] = 𝔼[(Sqrt[(∫_0^t)(1/(s^2))ds])] = (Sqrt[(∫_0^t)(1/(s^2))ds]) = (Sqrt[-(Subscript[[(1/s)], 0]^t) ])=(Sqrt[ -(1/t) + ∞]) = ∞.

In this case we cannot claim that    𝔼[(∫_0^t)(1/s)d(Subscript[B, s])]=0.

Page 40

Note that    t=(∫_0^t)1ds
so
(Subscript[B, t]^2) = 0+(∫_0^t)1ds+(∫_0^t)2(Subscript[B, s])ds
and so in Definition 2 (page 39)we identify
(Subscript[X, t])=(Subscript[B, t]^2),    (Subscript[X, 0])=(Subscript[B, 0]^2)=0,    (Subscript[a, s])=1    and    (Subscript[b, s])=2(Subscript[B, s])=2(Sqrt[(Subscript[X, s])]).

Page 41-42

Ito formula (formal)

Let
(Subscript[X, t]) = (Subscript[X, 0])+(∫_0^t)(Subscript[a, s])ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s]).

Then
g((Subscript[t,X, t])) = g(0,(Subscript[X, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,x)(Subscript[|, x=(Subscript[X, s])])+(Subscript[a, s])(∂/(∂x))g(s,x)(Subscript[|, x=(Subscript[X, s])])+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(s,x)(Subscript[|, x=(Subscript[X, s])]))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂x))g(s,x)(Subscript[|, x=(Subscript[X, s])])d(Subscript[B, s]).

Ito formula (informal 1)

Let
d(Subscript[X, t]) = (Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]).

Then
dg(t,(Subscript[X, t])) = ((∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))+(Subscript[a, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))+(1/2)(Subscript[b, t]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t])))dt+(Subscript[b, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[B, t]).

Ito formula (informal 2)

Let
d(Subscript[X, t]) = (Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]).

Then
dg(t,(Subscript[X, t])) = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
with "multiplication rule"
*dtdt=0
*dtd(Subscript[B, t])=0
*d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])=dt.

To see this note that
dg(t,(Subscript[X, t])) = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
  = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))
  = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))(Subscript[b, t]^2)d(Subscript[B, t])d(Subscript[B, t])    (the other terms vanish in Taylor expansion )
  = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))(Subscript[b, t]^2)dt    (quadratic variation of (Subscript[B, t]) is t)
  = ((∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))+(Subscript[a, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))+(1/2)(Subscript[b, t]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t])))dt+(Subscript[b, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[B, t]).

Example 1

Formal notation

Let
(Subscript[X, t]) = (Subscript[X, 0])+(∫_0^t)(Subscript[a, s])ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s]).

Find Ito representation of
(Subscript[Z, t]) = (e^(α t+β (Subscript[X, t]))).

Let
g(t,x) = (e^(α t+β x)) 
so that
g(t,(Subscript[X, t])) =(e^(α t+β (Subscript[X, t])))  = (Subscript[Z, t]).

Finding the derivatives
(∂/(∂t))g(t,x) = (∂/(∂t))(e^(α t+β x)) = α (e^(α t+β x)) ,
(∂/(∂x))g(t,x) = (∂/(∂x))(e^(α t+β x)) = β (e^(α t+β x)) ,
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = ((∂^2)/(∂(x^2)))(e^(α t+β x)) = (β^2)(e^(α t+β x)) .

Then by Ito formula
g(t,(Subscript[X, t])) = g(0,(Subscript[X, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂s))g(s,(Subscript[X, s]))+(Subscript[a, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[X, s]))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(s,(Subscript[X, s])))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])(∂/(∂x))g(s,(Subscript[X, s]))d(Subscript[B, s])
  = (e^(β (Subscript[X, 0])))+(∫_0^t)(α (e^(α s+β (Subscript[X, s])))+(Subscript[a, s])β (e^(α s+β (Subscript[X, s])))+(1/2)(Subscript[b, s]^2)(β^2)(e^(α s+β (Subscript[X, s]))))ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])β (e^(α s+β (Subscript[X, s])))d(Subscript[B, s])
  = (e^(β (Subscript[X, 0])))+(∫_0^t)(α+β (Subscript[a, s])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, s]^2))(e^(α s+β (Subscript[X, s])))ds+(∫_0^t)β (Subscript[b, s])(e^(α s+β (Subscript[X, s])))d(Subscript[B, s])
or
(Subscript[Z, t]) = (Subscript[Z, 0])+(∫_0^t)(α+β (Subscript[a, s])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, s]^2))(Subscript[Z, s])ds+(∫_0^t)β (Subscript[b, s])(Subscript[Z, s])d(Subscript[B, s]).

IMPORTANT: notice how the RHS has be converted so that (Subscript[Z, t]) appears, not (Subscript[X, t])?

We need this in order to use the Kolmogorov equations to find transition density of (Subscript[Z, t]) via
(∂/(∂s))f(y,t|x,s)+(α+β (Subscript[a, s])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, s]^2))x(∂/(∂x))f(y,t|x,s)+(1/2)(β^2) (Subscript[b, s]^2)(x^2)((∂^2)/(∂(x^2)))f(y,t|x,s) = 0
s.t.
f(s,y,s,x) = δ(y-s).

Informal notation 1

dg(t,(Subscript[X, t])) = ((∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))+(Subscript[a, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))+(1/2)(Subscript[b, t]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t])))dt+(Subscript[b, t])(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[B, t])
  = (α (e^(α t+β (Subscript[X, t])))+(Subscript[a, t])β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))+(1/2)(Subscript[b, t]^2)(β^2)(e^(α t+β (Subscript[X, t]))))dt+(Subscript[b, t])β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
  = (α+(Subscript[a, t])β+(1/2)(Subscript[b, t]^2)(β^2))(e^(α t+β (Subscript[X, t])))dt+(Subscript[b, t])β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
or
d(Subscript[Z, t]) = (α+β (Subscript[a, t])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, t]^2))(Subscript[Z, t])dt+β (Subscript[b, t])(Subscript[Z, t])d(Subscript[B, t])

Informal notation 2

dg(t,(Subscript[X, t])) = (∂/(∂t))g(t,(Subscript[X, t]))dt+(∂/(∂x))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])+(1/2)((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,(Subscript[X, t]))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
  = α (e^(α t+β (Subscript[X, t]))) dt+β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))d(Subscript[X, t])+(1/2)(β^2)(e^(α t+β (Subscript[X, t])))d(Subscript[X, t])d(Subscript[X, t])
  = α (e^(α t+β (Subscript[X, t]))) dt+β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))+(1/2)(β^2)(e^(α t+β (Subscript[X, t])))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))
  = α (e^(α t+β (Subscript[X, t]))) dt+β (e^(α t+β (Subscript[X, t])))((Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]))+(1/2)(β^2)(Subscript[b, t]^2)(e^(α t+β (Subscript[X, t])))dt
  = (α+β (Subscript[a, t])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, t]^2))(e^(α t+β (Subscript[X, t])))dt+β (Subscript[b, t])(e^(α t+β (Subscript[X, t])))d(Subscript[B, t])
or
d(Subscript[Z, t]) = (α+β (Subscript[a, t])+(1/2)(β^2)(Subscript[b, t]^2))(Subscript[Z, t])dt+β (Subscript[b, t])(Subscript[Z, t])d(Subscript[B, t])

Page 43

We consider
(Subscript[X, t]) = (Subscript[X, 0])+(∫_0^t)(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s])
so that
(Subscript[X, (Subscript[t, k])])-(Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]) = (Subscript[X, 0])+(∫_0^(Subscript[t, k]))(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s])-((Subscript[X, 0])+(∫_0^(Subscript[t, k-1]))(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s]))
  = (∫_(Subscript[t, k-1])^(Subscript[t, k]))(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s]) = (∫_(Subscript[t, k-1])^(Subscript[t, k]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])d(Subscript[B, s])+o((Subscript[t, k])-(Subscript[t, k-1]))
  = (Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+o(δ).

Then the Taylor expansion
g((Subscript[X, (Subscript[t, k])]))-g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])])) = (d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)+o(δ)
  = (d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)+((1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)δ-(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)δ)+o(δ)
  = (d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(δ^2)+(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)-δ)+o(δ)
so
(∑_(k=1)^n)(g((Subscript[X, (Subscript[t, k])]))-g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))) = (∑_(k=1)^n)(d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(∑_(k=1)^n)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(δ^2)+(∑_(k=1)^n)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)-δ)+(∑_(k=1)^n)o(δ)
or
g((Subscript[X, t]))-g((Subscript[X, 0])) = (∑_k)(d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(∑_k)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(δ^2)+(∑_k)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)-δ)+o(1)
  = (∑_k)(d/(dx))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])])((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])]))+(∑_k)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(δ^2)+o(1)
if
(∑_k)(1/2)((d^2)/(d(x^2)))g((Subscript[X, (Subscript[t, k-1])]))(Subscript[b, (Subscript[t, k-1])]^2)(((((Subscript[B, (Subscript[t, k])])-(Subscript[B, (Subscript[t, k-1])])))^2)-δ)∈o(1).

Taking the limit    n->∞    we have
g((Subscript[X, t]))-g((Subscript[X, 0])) = (∫_0^t)(Subscript[b, s])(d/(dx))g((Subscript[X, s]))d(Subscript[B, s])+(1/2)(∫_0^t)((d^2)/(d(x^2)))(Subscript[b, s]^2)g((Subscript[X, s]))ds.

Page 45

Let
(Subscript[X, t]) = (Subscript[X, 0])+(∫_0^t)(Subscript[a, s])ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s])
or
d(Subscript[X, t]) = (Subscript[a, t])dt+(Subscript[b, t])d(Subscript[B, t]).

Then
(∫_0^t)(Subscript[f, s])d(Subscript[X, s]) = (∫_0^t)(Subscript[f, s])((Subscript[a, s])ds+(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s])) = (∫_0^t)(Subscript[f, s])(Subscript[a, s])ds+(∫_0^t)(Subscript[b, s])d(Subscript[B, s]).