37363 - Sample Exam Solutions

Scott Alexander

Question 1

(a)

cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, s])) = cov((e^(-2t+2(Subscript[B, t]))),(e^(-2s+2(Subscript[B, s]))))
  = (e^(-2t-2s))cov((e^(2(Subscript[B, t]))),(e^(2(Subscript[B, s]))))
  = (e^(-2t-2s))(𝔼[(e^(2(Subscript[B, t])))(e^(2(Subscript[B, s])))]-𝔼[(e^(2(Subscript[B, t])))]𝔼[(e^(2(Subscript[B, s])))])
  = (e^(-2t-2s))(𝔼[(e^(2((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s])+(Subscript[B, s]))))(e^(2(Subscript[B, s])))]-𝔼[(e^(2(Subscript[B, t])))]𝔼[(e^(2(Subscript[B, s])))])
  = (e^(-2t-2s))(𝔼[(e^(2((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]))))(e^(4(Subscript[B, s])))]-𝔼[(e^(2(Subscript[B, t])))]𝔼[(e^(2(Subscript[B, s])))])
  = (e^(-2t-2s))(𝔼[(e^(2((Subscript[B, t])-(Subscript[B, s]))))]𝔼[(e^(4(Subscript[B, s])))]-𝔼[(e^(2(Subscript[B, t])))]𝔼[(e^(2(Subscript[B, s])))])    (independent increments)
  = (e^(-2t-2s))((e^((1/2)(2^2)(t-s)))(e^((1/2)(4^2)s))-(e^((1/2)(2^2)t))(e^((1/2)(2^2)s)))
  = (e^(4s))-1.

var((Subscript[X, t])) = cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, t]))
 = (e^(4t))-1

corr((Subscript[X, t]),(Subscript[X, s])) = ((cov((Subscript[X, t]),(Subscript[X, s])))/(Sqrt[var((Subscript[X, t]))var((Subscript[X, s]))]))
  = (((e^(4s))-1)/(Sqrt[((e^(4 t))-1)((e^(4 s))-1)]))
  = (Sqrt[(((e^(4s))-1)/((e^(4 t))-1))])

Calculations

(E^(-2t-2s))((E^((1/2)(2^2)(t-s)))(E^((1/2)(4^2)s))-(E^((1/2)(2^2)t))(E^((1/2)(2^2)s)))//Simplify

(b)

First note that
(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))= (({{1, 5, 0}, {2, -7, 0}}))(({{(Subscript[X, t])}, {(Subscript[Y, t])}, {(Subscript[Z, t])}}))
and as a linear combination of joint-Gaussian RVs is Gaussian.

Then by Theorem 2 page 15 Chapter 2 Notes
𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))] = (({{1, 5, 0}, {2, -7, 0}}))(({{0}, {5}, {9}}))t = (({{25}, {-35}}))t
and
cov((({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}})),(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))) = (({{1, 5, 0}, {2, -7, 0}}))(({{1, 2, -1}, {2, 13, 8}, {-1, 8, 14}}))t(({{1, 2}, {5, -7}, {0, 0}})) = (({{346, -447}, {-447, 585}}))t.

Therefore
(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))~N((({{25}, {-35}}))t,(({{346, -447}, {-447, 585}}))t).

Calculations

(({{1, 5, 0}, {2, -7, 0}})).(({{1, 2, -1}, {2, 13, 8}, {-1, 8, 14}})).(({{1, 2}, {5, -7}, {0, 0}}))t//MatrixForm

(c)

By TNC page 33 Chapter 2 Notes
𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))|(Subscript[Z, t])] = 𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))]+(1/(var((Subscript[Z, t]))))cov((({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}})),(Subscript[Z, t]))(({{(Subscript[Z, t])-𝔼[(Subscript[Z, t])]}}))

  = 𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))]+(1/(var((Subscript[Z, t]))))(({{cov((Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t]))}, {cov(2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t]))}}))(({{(Subscript[Z, t])-𝔼[(Subscript[Z, t])]}}))

  = (({{𝔼[(Subscript[X, t])]+5𝔼[(Subscript[Y, t])]}, {2𝔼[(Subscript[X, t])]-7𝔼[(Subscript[Y, t])]}}))+(1/(var((Subscript[Z, t]))))(({{cov((Subscript[X, t]),(Subscript[Z, t]))+5cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t]))}, {2cov((Subscript[X, t]),(Subscript[Z, t]))-7cov((Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t]))}}))(({{(Subscript[Z, t])-𝔼[(Subscript[Z, t])]}}))

  = (({{0+5*5t}, {2*0-7*5t}}))+(1/(14t))(({{-t+5*8t}, {-2t-7*8t}}))(({{(Subscript[Z, t])-9t}}))

  = (({{25t}, {-35t}}))+(1/14)(({{39}, {-58}}))(({{(Subscript[Z, t])-9t}}))

  = (({{-(t/14)+((39 (Subscript[Z, t]))/14)}, {((16 t)/7)-((29 (Subscript[Z, t]))/7)}})).

Another way is to note that
𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))|(Subscript[Z, t])] = (({{𝔼[(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])|(Subscript[Z, t])]}, {𝔼[2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])|(Subscript[Z, t])]}}))
where
𝔼[(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])|(Subscript[Z, t])] = 𝔼[(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])]+((cov((Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t])))/(var((Subscript[Z, t]))))(({{(Subscript[Z, t])-𝔼[(Subscript[Z, t])]}})) = -(t/14)+((39 (Subscript[Z, t]))/14)
and
𝔼[2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])|(Subscript[Z, t])] = 𝔼[2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])]+((cov(2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t]),(Subscript[Z, t])))/(var((Subscript[Z, t]))))(({{(Subscript[Z, t])-𝔼[(Subscript[Z, t])]}})) = ((16 t)/7)-((29 (Subscript[Z, t]))/7)
so
𝔼[(({{(Subscript[X, t])+5(Subscript[Y, t])}, {2(Subscript[X, t])-7(Subscript[Y, t])}}))|(Subscript[Z, t])] = (({{-(t/14)+((39 (Subscript[Z, t]))/14)}, {((16 t)/7)-((29 (Subscript[Z, t]))/7)}})).

Calculations

(({{25t}, {-35t}}))+(1/14)(({{39}, {-58}})).(({{(Subscript[Z, t])-9t}}))//Expand//MatrixForm

Question 2

(a)

P((Subscript[N, 1])=4,(Subscript[N, 3])=5|(Subscript[N, 5])=7) = ((P((Subscript[N, 1])=4,(Subscript[N, 3])=5,(Subscript[N, 5])=7))/(P((Subscript[N, 5])=7)))
  = ((P((Subscript[N, 1])-(Subscript[N, 0])=4-(Subscript[N, 0]),(Subscript[N, 3])-(Subscript[N, 1])=5-(Subscript[N, 1]),(Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 3])=7-(Subscript[N, 3])))/(P((Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 0])=7-(Subscript[N, 0]))))
  = ((P((Subscript[N, 1])-(Subscript[N, 0])=4,(Subscript[N, 3])-(Subscript[N, 1])=1,(Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 3])=2))/(P((Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 0])=7)))
  = ((P((Subscript[N, 1])-(Subscript[N, 0])=4)P((Subscript[N, 3])-(Subscript[N, 1])=1)((Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 3])=2))/(P((Subscript[N, 5])-(Subscript[N, 0])=7)))    (independence)
  = (((e^(-1))((1^4)/(4!))(e^(-2))((2^1)/(1!))(e^(-2))((2^2)/(2!)))/((e^(-5))((5^7)/(7!))))    (using Definition 4 page 30 Chapter 6 Notes)
  = (168/15625) ≈ 0.010752`.

Calculations

(((E^(-1))((1^4)/(4!))(E^(-2))((2^1)/(1!))(E^(-2))((2^2)/(2!)))/((E^(-5))((5^7)/(7!))))

(168/15625)//N

(b)

First note that the CF of (Subscript[Y, k]) is
𝔼[(e^(i u (Subscript[Y, k])))] = (1/4)(e^(i u))+(2/5)(e^(2i u))+(7/20)(e^(3i u)).

So by Theorem 6 page 39 Chapter 6 Notes
𝔼[(e^(i u (Subscript[X, t])))] = exp(t((1/4)(e^(i u))+(2/5)(e^(2i u))+(7/20)(e^(3i u))-1)).

(c)

We have
cov((Subscript[X, 4]),(Subscript[X, 3])) = cov((Subscript[X, 4])-(Subscript[X, 3])+(Subscript[X, 3]),(Subscript[X, 3]))
  = cov((Subscript[X, 4])-(Subscript[X, 3]),(Subscript[X, 3]))+cov((Subscript[X, 3]),(Subscript[X, 3]))
  = 0+var((Subscript[X, 3]))    (independent increments)
  = 3𝔼[(Subscript[Y, k]^2)]
  = 3(∑_(i=1)^3)(i^2)P((Subscript[Y, k])=i)
  = 3((1/4)(1^2)+(2/5)(2^2)+(7/20)(3^2))
  = 15.

Calculations

3((1/4)(1^2)+(2/5)(2^2)+(7/20)(3^2))

Question 3

(a)

By page 25 Chapter 5 Notes
p(2) = ((((P^T)))^2)p(0) = (({{(2/10), (7/10), (4/10)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(5/10), (2/10), (3/10)}}))(({{(2/10), (7/10), (4/10)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(5/10), (2/10), (3/10)}}))(({{(1/10)}, {(3/10)}, {(6/10)}}))
  = (({{(189/500)}, {(63/250)}, {(37/100)}})).

So
𝔼[(Subscript[X, 2])] = (∑_(i=1)^3)(Subscript[x, i])P((Subscript[X, 2])=(Subscript[x, i])) = (∑_(i=1)^3)(Subscript[x, i])(Subscript[p, i])(2)
  = 3(189/500)+(-4)(63/250)+2(37/100) 
  =(433/500).

Calculations

(({{(2/10), (7/10), (4/10)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(5/10), (2/10), (3/10)}})).(({{(2/10), (7/10), (4/10)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(5/10), (2/10), (3/10)}})).(({{(1/10)}, {(3/10)}, {(6/10)}}))//MatrixForm

3(189/500)+(-4)(63/250)+2(37/100)

(b)

By page 28 Chapter 5 Notes a stationary distribution satistifes
π = (P^T)π
or
(({{(Subscript[π, 1])}, {(Subscript[π, 2])}, {(Subscript[π, 3])}})) = (({{(2/10), (7/10), (4/10)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(5/10), (2/10), (3/10)}}))(({{(Subscript[π, 1])}, {(Subscript[π, 2])}, {(Subscript[π, 3])}})) = (({{(2/10)(Subscript[π, 1])+(7/10)(Subscript[π, 2])+(4/10)(Subscript[π, 3])}, {(3/10)(Subscript[π, 1])+(1/10)(Subscript[π, 2])+(3/10)(Subscript[π, 3])}, {(5/10)(Subscript[π, 1])+(2/10)(Subscript[π, 2])+(3/10)(Subscript[π, 3])}}))
which after solving and re-weighting so the components sum to one gives
(({{(Subscript[π, 1])}, {(Subscript[π, 2])}, {(Subscript[π, 2])}})) = (({{(19/48)}, {(1/4)}, {(17/48)}})).    (see calculations below)

Alternatively, using Theorem 5 page 28 Chapter 5 Notes
(lim_(t->∞)) p(t) = (lim_(t->∞)) (((((P^T)))^t)p(0))
  = (lim_(t->∞)) ((((({{(1/5), (7/10), (2/5)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(1/2), (1/5), (3/10)}})))^t)(({{(Subscript[p, 1])}, {(Subscript[p, 2])}, {1-(Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2])}})))
  =  ((((lim_(t->∞))(({{(1/5), (7/10), (2/5)}, {(3/10), (1/10), (3/10)}, {(1/2), (1/5), (3/10)}})))^t))(({{(Subscript[p, 1])}, {(Subscript[p, 2])}, {1-(Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2])}}))
  = (({{(19/48), (19/48), (19/48)}, {(1/4), (1/4), (1/4)}, {(17/48), (17/48), (17/48)}}))(({{(Subscript[p, 1])}, {(Subscript[p, 2])}, {1-(Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2])}}))
  = (({{(19/48)}, {(1/4)}, {(17/48)}}))    (see calculations below)
which does not depend on    p(0)=(({{(Subscript[p, 1])}, {(Subscript[p, 2])}, {1-(Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2])}})).

Transpose[PP]//MatrixForm

Calculations

PP={{2/10,3/10,5/10},{7/10,1/10,2/10},{4/10,3/10,3/10}};
eigensys=Eigensystem[Transpose[PP]];
eigensys[[2,1]]/Total[eigensys[[2,1]]]//MatrixForm

Limit[MatrixPower[Transpose[PP],t],t->∞]//MatrixForm

Clear[p1,p2];
Limit[MatrixPower[Transpose[PP],t].{p1,p2,1-p1-p2},t->∞]//MatrixForm

(c)

Yes, because P(1) has non-zero entries with the result following by Theorem 6 page 35 Chapter 5 Notes.

Question 4

(a)

By pages 9-10 Chapter 6 Notes
A = (({{-2, (2/10)×2, (8/10)×2}, {(1/2)×6, -6, (1/2)×6}, {(7/10)×7, (3/10)×7, -7}})) = (({{-2, (4/10), (16/10)}, {3, -6, 3}, {(49/10), (21/10), -7}}))

(b)

By page 19 Chapter 6 Notes
P(3) = (e^(3A))    (which is a 3 by 3 matrix)
so
P((Subscript[X, t+3])=(Subscript[x, 2])|(Subscript[X, t])=(Subscript[x, 1])) = (Subscript[[(e^(3A))], 1,2]).

Calculations

AA={{-2,4/10,16/10},{3,-6,3},{49/10,21/10,-7}};
AA//MatrixForm
MatrixExp[3 AA][[1,2]]//N

(c)

𝔼[(e^(u (Subscript[T, 2])))] = (∫_0^∞)(e^(u t))6(e^(-6 t))dt = (∫_0^∞)6(e^((u-6) t))dt = (Subscript[[(6/(u-6))(e^((u-6) t))], 0]^∞)
  = (6/(6-u)).
Note that this is only defined when u<6 (must be positive and finite).

Calculations

PDF[ExponentialDistribution[6],t ]

Question 5

(a)

(Subscript[X, t])+(1/4)(Subscript[X, t-1])-(3/8)(Subscript[X, t-2]) = (Subscript[Z, t])-(13/35)(Subscript[Z, t-1])-(12/35)(Subscript[Z, t-2])
or
(1+(1/4)(B^1)-(3/8)(B^2))(Subscript[X, t]) = (1-(13/35)(B^1)-(12/35)(B^2))(Subscript[Z, t])

Note that
ϕ(z) = 1+(1/4)z-(3/8)(z^2) = (1-(1/2)z)(1+(3/4)z)
and has roots (Subscript[z, 1])=2 and (Subscript[z, 2])=-(4/3).
So (Subscript[X, t]) is stationary as \[LeftBracketingBar](Subscript[z, 1])\[RightBracketingBar],\[LeftBracketingBar](Subscript[z, 2])\[RightBracketingBar] ≠1(Theorem 1 page 22 Chapter 7 Notes).
It is also causal as \[LeftBracketingBar](Subscript[z, 1])\[RightBracketingBar],\[LeftBracketingBar](Subscript[z, 2])\[RightBracketingBar]>1 (page 30 Chapter 7 Notes).

Now note that
θ(z) = 1-(13/35)z-(12/35)(z^2) = (1-(4/5)z)(1+(3/7)z)
and has roots (Subscript[z, 1])=(5/4) and (Subscript[z, 1])=-(7/3).
So (Subscript[X, t]) is invertible as \[LeftBracketingBar](Subscript[z, 1])\[RightBracketingBar],\[LeftBracketingBar](Subscript[z, 2])\[RightBracketingBar]>1  (page 31 Chapter 7 Notes).

Calculations

Solve[1+(1/4)z-(3/8)(z^2)==0,z]

Solve[1-(13/35)z-(12/35)(z^2)==0,z]

(b)

From (a) we know that (Subscript[X, t]) is invertible, which means that the current value of
the noise process (Subscript[X, t]) can be reconstructed from past and present values of (Subscript[X, t]).

(c)

We need
(Subscript[X, t]) = (∑_(j∈ℤ))(Subscript[ψ, j])(Subscript[((B^j)Z), t]) = (∑_(j=0)^∞)(Subscript[ψ, j])(Subscript[((B^j)Z), t])    ((Subscript[X, t]) is causal -- see page 30 Lecture 7 Notes)
  ≈ (∑_(j=0)^∞)(Subscript[ψ, j])(Subscript[((B^j)Z), t]) = (∑_(j=0)^3)(Subscript[ψ, j])(Subscript[Z, t-j]).


Note that
(Subscript[ϕ, 1])=-(1/4),    (Subscript[ϕ, 2])=(3/8)
(Subscript[θ, 1])=-(13/35),    (Subscript[θ, 2])=-(12/35).

Now
(Subscript[ψ, 0]) = 1,
(Subscript[ψ, 1]) = (∑_(k=1)^1)(Subscript[ϕ, k])(Subscript[ψ, 1-k])+(Subscript[θ, 1]) = (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[ψ, 0])+(Subscript[θ, 1]) = -(1/4)1-(13/35) =-(87/140),
(Subscript[ψ, 2]) = (∑_(k=1)^2)(Subscript[ϕ, k])(Subscript[ψ, 2-k])+(Subscript[θ, 2]) = (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[ψ, 1])+(Subscript[ϕ, 2])(Subscript[ψ, 0])+(Subscript[θ, 2]) = -(1/4)(-(87/140))+(3/8)1-(12/35) =(3/16),
(Subscript[ψ, 3]) = (∑_(k=1)^3)(Subscript[ϕ, k])(Subscript[ψ, 3-k])+(Subscript[θ, 3]) = (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[ψ, 2])+(Subscript[ϕ, 2])(Subscript[ψ, 1])+(Subscript[ϕ, 3])(Subscript[ψ, 0])+(Subscript[θ, 3]) = -(1/4)(3/16)+(3/8)(-(87/140))+0*1+0 = -(627/2240)
so
(Subscript[X, t]) ≈ (∑_(j=0)^3)(Subscript[ψ, j])(Subscript[Z, t-j]) = (Subscript[Z, 1])-(87/140)(Subscript[Z, t-1])+(3/16)(Subscript[Z, t-2])-(627/2240)(Subscript[Z, t-3]).

Calculations

-(1/4)1-(13/35)

-(1/4)(-(87/140))+(3/8)1-(12/35)

-(1/4)(3/16)+(3/8)(-(87/140))+0*1+0

Question 6

(a)

(Subscript[X, t]) = (1/2)(Subscript[W, t]^2)+t
or
(Subscript[W, t]) = ±(Sqrt[2((Subscript[X, t])-t)]).

First note that
(Subscript[X, t+h])-(Subscript[X, t]) = (1/2)(Subscript[W, t+h]^2)+t+h-(1/2)(Subscript[W, t]^2)-t
  = (1/2)((Subscript[W, t+h]^2)-(Subscript[W, t]^2))+h
  = (Subscript[W, t])((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t]))+(1/2)((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)+h.

Then
𝔼[(Subscript[X, t+h])-(Subscript[X, t])|(Subscript[X, t])=x] = 𝔼[(Subscript[W, t])((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t]))+(1/2)((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)+h|(1/2)(Subscript[W, t]^2)+t=x]
  = 𝔼[±(Sqrt[2(x-t)])((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t]))+(1/2)((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)+h|(1/2)(Subscript[W, t]^2)+t=x]
  = 𝔼[±(Sqrt[2(x-t)])((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t]))+(1/2)((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)+h]    (independence of increments)
  = ±(Sqrt[2(x-t)])𝔼[(Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])]+(1/2)𝔼[((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)]+h    (independence of increments)
  = 0*0+(1/2)h+h
  = ((3h)/2)
so
a(t,x) = (lim_(h->0)) ((𝔼[(Subscript[X, t+h])-(Subscript[X, t])|(Subscript[X, t])=x])/h)
  =(lim_(h->0)) ((3h/2)/h)
  = (3/2).

Calculations

FullSimplify[(1/2)((Subscript[W, t+h]^2)-(Subscript[W, t]^2))==(Subscript[W, t])((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t]))+(1/2)((((Subscript[W, t+h])-(Subscript[W, t])))^2)]

(b)

The standard Wiener process (Subscript[W, t]) has Ito representation
(Subscript[W, t]) = (∫_0^t)d(Subscript[W, u])
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = 0
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = 1.

Let    g(t,x)=(1/2)(x^2)+t
so that
(∂/(∂t))g(t,x) = 1,
(∂/(∂x))g(t,x) = x,
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = 1.

Then using Ito formula Theorem 2 page 41 Chapter 8 Notes
(1/2)(Subscript[W, t]^2)+t = (1/2)(Subscript[W, 0]^2)+0+(∫_0^t)((∂/(∂u))((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u)+(Subscript[a, u])(∂/(∂x))((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u)+(1/2)(Subscript[b, u]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))du+(∫_0^t)(Subscript[b, u])(∂/(∂x))((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u)d(Subscript[W, u])
  = (∫_0^t)(1+0*(Subscript[W, u])+(1/2)(1^2)*1)du+(∫_0^t)1*(Subscript[W, u])d(Subscript[W, u])
  = (∫_0^t)(3/2)du+(∫_0^t)(Subscript[W, u])d(Subscript[W, u]).

But
(Subscript[W, t]^2) = 2(Subscript[X, t])-2t
so we have
(Subscript[X, t]) = (∫_0^t)(3/2)du±(∫_0^t)(Sqrt[2(Subscript[X, u])-2u])d(Subscript[W, u]).

(c)

From (b) we see that (Subscript[X, t]) has drift function
a(x,s) = (3/2)
and diffusion function
b(x,s) = ±(Sqrt[2x-2s]).

So the Kolmogorov backward equation for (Subscript[X, t]) is
(∂/(∂s))f(y,t|x,s)+(3/2)(∂/(∂x))f(y,t|x,s)+(x-s)((∂^2)/(∂(x^2)))f(y,t|x,s) = 0
s.t.
f(y,s|x,s) = δ(y-x).

(d)

Method 1

The standard Wiener process (Subscript[W, t]) has Ito representation
(Subscript[W, t]) = (∫_0^t)d(Subscript[W, u])
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = 0
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = 1.

Let    g(t,x)= (e^((1/2)(x^2)+t))
so that
(∂/(∂t))g(t,x) = (e^((1/2)(x^2)+t)),
(∂/(∂x))g(t,x) = x (e^((1/2)(x^2)+t)) ,
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = ((x^2)+1)(e^((1/2)(x^2)+t)).

Then using Ito formula Theorem 2 page 41 Chapter 8 Notes
(e^((1/2)(Subscript[W, t]^2)+t)) = (e^((1/2)(Subscript[W, 0]^2)+0))+(∫_0^t)((∂/(∂u))(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))+(Subscript[a, u])(∂/(∂w))(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))+(1/2)(Subscript[b, u]^2)((∂^2)/(∂(w^2)))(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u)))du+(∫_0^t)(Subscript[b, u])(∂/(∂w))(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))d(Subscript[W, u])
  = 1+(∫_0^t)((e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))+0*(Subscript[W, u])(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))+(1/2)(1^2)((Subscript[W, u]^2)+1)(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u)))du+(∫_0^t)1*(Subscript[W, u])(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))d(Subscript[W, u])
  = 1+(∫_0^t)((1/2)(Subscript[W, u]^2)+(3/2))(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))du+(∫_0^t)(Subscript[W, u])(e^((1/2)(Subscript[W, u]^2)+u))d(Subscript[W, u]).

But
(1/2)(Subscript[W, t]^2) = (Subscript[X, t])-t = ln (Subscript[Y, t])-t
so
(Subscript[Y, t]) = 1+(∫_0^t)(ln (Subscript[Y, u])-u+(3/2))(Subscript[Y, u])du±(∫_0^t)(Sqrt[2ln (Subscript[Y, u])-2u])(Subscript[Y, u])d(Subscript[W, u]).

Method 2

From part (b) we have
(Subscript[X, t]) = (∫_0^t)(3/2)du±(∫_0^t)(Sqrt[2(Subscript[X, u])-2u])d(Subscript[W, u])
from which we identify the drift function
(Subscript[a, t]) = (3/2)
and diffusion function
(Subscript[b, t]) = ±(Sqrt[2x-2t]).

Let    g(t,x)= (e^x).
so that
(∂/(∂t))g(t,x) = 0,
(∂/(∂x))g(t,x) = (e^x) ,
((∂^2)/(∂(x^2)))g(t,x) = (e^x).

Then using Ito formula Theorem 2 page 41 Chapter 8 Notes
(e^(Subscript[X, t])) = (e^(Subscript[X, 0]))+(∫_0^t)((∂/(∂u))(e^(Subscript[X, u]))+(Subscript[a, u])(∂/(∂x))(e^(Subscript[X, u]))+(1/2)(Subscript[b, u]^2)((∂^2)/(∂(x^2)))(e^(Subscript[X, u])))du+(∫_0^t)(Subscript[b, u])(∂/(∂x))(e^(Subscript[X, u]))d(Subscript[W, u])
  = 1+(∫_0^t)(0+(3/2)(e^(Subscript[X, u]))+(1/2)(2(Subscript[X, u])-2u)(e^(Subscript[X, u])))du±(∫_0^t)(Sqrt[2(Subscript[X, u])-2u])(e^(Subscript[X, u]))d(Subscript[W, u])
  = 1+(∫_0^t)((3/2)+(Subscript[X, u])-u)(e^(Subscript[X, u]))du±(∫_0^t)(Sqrt[2(Subscript[X, u])-2u])(e^(Subscript[X, u]))d(Subscript[W, u])
or
(Subscript[Y, t]) = 1+(∫_0^t)(ln (Subscript[Y, u])-u+(3/2))(Subscript[Y, u])du±(∫_0^t)(Sqrt[2ln (Subscript[Y, u])-2u])(Subscript[Y, u])d(Subscript[W, u]).

(e)

From (b) we see that (Subscript[Y, t]) has drift function
a(y,t) = (ln y-t+(3/2))y
and diffusion function
b(y,t) = ±(Sqrt[2ln y-2t])y.

So the Kolmogorov forward equation for (Subscript[X, t]) is
(∂/(∂t))f(y,t|x,s)+(∂/(∂y))((ln y-t+(3/2))yf(y,t|x,s))-(1/2)((∂^2)/(∂(y^2)))((2ln y-2t)(y^2) f(y,t|x,s)) = 0
s.t.
f(y,s|x,s) = δ(y-x).